电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第3章

体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷，因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q?q?)。那么，点电荷q将受到的镜像电荷的作用力为

???a2?a2?q?q???Q?fq??f???er F?FQ?q??Fq????22?4??0fa2?4??(f?)?0?f??要使点电荷受力为零，则f应满足下列方程

a2qqQf??4??0f24??0f2a2qfa224??0(f?)f?0

求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为

1a??f2f3aa22f(f?)f?0

再化为关于

f的方程即 aaf?1fa??0 322?f???f????????1??a???a????若x?f，则上面的方程又可写为 ax?1x??0 232xx?1??令y1?x?1x，，分别作图求得y1和y2的交点，y?2322xx?1??即是所要求的解。根据题意可知x?f?1，由下图可见ay1?y2?0的解位于x=1.5~2之间。其值近似为x?1.62，即

f?1.62a时，点电荷q受力为零。

13

3-14 试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为

q2ad F?2224??0(a?d)式中d为点电荷离球心的距离。再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。

证明 根据点电荷与导体球的镜像关系，可知点电荷q在腔外的镜像电荷为q???2aq， dZ q′ 距球心f?a；如下习题图df 3-14所示。则q所受到的力可等效为镜像电荷q?对它的电场力，其大小为

X q P(r,? , θ ?Y a 习题图3-14

2F?

qq?qad??4??0(f?d)24??0(a2?d2)2显然，腔内任一点P(r,?)电位与?无关，它可表示为

??

14??0(qr?d?2rdcos?22?aqdr?f?2rfcos?22)

14

已知导体表面的电荷密度

?s?Dn求得

r?a??0Err?a???0??

?(?r)r?a32?s?q(d2?a2)4?a(a2?d2?2adcos?)

3-15 半径为a的不接地的 导体球中含有半径为b的球 形空腔，如习题图3-15(a)所示。 若在导体球外，离球心f处 放置一个电量为q的点电荷， 在空腔中离腔心d1处放置另

习题图3-15(a)

a q’ dd2 q f 一个电量为q?的点电荷，腔心与球心间距为d2，且腔心、球心、点电荷q及q?均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。

解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷q以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷q?以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷q??的位置及电量分别为

b2D?；

d1q????Dq? b计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q??，其中q0位于球心，q??的位置和电量，以及

15

q0的电量分别为

aaa2d3?；q?????q；q0?q??q

fff

D ? d2 q? a q? b q0 q?? ? ? ? d1 ? q d3 f 习题图3-15(b)

综上所述，腔内场强由两个点电荷q?和q?共同产生，

腔外场强由三个点电荷q，q?和q?? 共同产生，而导体内的场强为零。

3-16 已知点电荷q位于半径为a的导体球附近，离球心的距离为f，试求：①当导体球的电位为?时的镜像电荷；②当导体球的电荷为Q时的镜像电荷。

解 ①如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球

aa2的影响。一个是离球心处，电量为q???q的镜像电

ff荷。另一个镜像电荷q?位于球心，其电量取决于导体球的电位。

已知导体球的电位为?，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q?的电量应满足

??即

q??4??0a

q???4??0a?

a2② 当导体球携带的电荷为Q时，在离球心处的镜像

f

16