电磁场与电磁波课后习题答案（杨儒贵编着）（第二版）第3章

3-6 一根无限长线电荷平行放置 在夹角60?的导电劈的中央部位， 离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a) 所示。若线电荷的线密度为?l，试 求其电位分布函数。

-?l r3 -?l y r5 r0 r ?l 60? r2 -?l r1 x P 习题图3-6(a)

h ?l 60? h ?l r4 o ?l 习题图3-6(b)

解 根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷，?1???l，?2??l，?3???l，?4??l和?5???l，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。

已知，无限长的线电荷产生的电场强度为

E??l 2??rr可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为

?r??(?E)dr??r0r?l2??r1?lr0dr?ln?r0r2??rr

r对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷?l离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，

那么该线电荷在P点产生的电位为

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?p??l2hln 2??rr0因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为

???l2h2h2h2h2h2h(ln?ln?ln?ln?ln?ln) 2??0r0r1r2r3r4r5?lrrrln135 2??0r0r2r4d 即

??3-7 已知点电荷q位于两块 无限大的接地的平行导体板之 间，如习题图3-7所示。两板

d间距为d，点电荷位于处，

3q d/3 习题图3-7 试求两板间的电位分布。

解 选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于z轴，则导体板之间任一点电位与角度?无关。

根据镜像法，必须在z轴上引入无限多个镜像电荷， 它们的位置分别为：

正z轴上：?q(0,?q(0,5d7d)，q(0,)， 33z q -q r q -q 11d)，．．． 3d5d负z轴上：?q(0,)，q(0,)，

337d?q(0,)，．．．

3P?r,z? x

则两板之间任一点P?r,z?的电位为：

q 6

11????22q???2?12??2?2?12??2??z?(2n?d)????r??z?(2n?d)??? ???r??4??0n?1??3??3???????????????q?2???r?4??0n?1????

1????z?[2(n?1)?]d?3??12?2?????2??r??1????z?[2(n?1)?]d?3??12?2?????????3-8 试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为

?16a3d5?1?4F?4216??0d2??(d?a)q2??? ?式中a为球半径，d为电荷与球心的间距，?0为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。

习题图3-8(a)

习题图3-8(b)

d a q q ? d d ?0 q′ q″ -q d′ d″

?0 证明 应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：?q，q?，q?，其中q和?q，以及q?和q?保证无限大平面边界的电位为零，q和q?，以及?q和q?保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q?和q?分别为

q???aaq，q???q dd 7

a2a2其位置分别位于d??及d????处。因此，点电荷q所

dd受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即

?a??a?q??q?q?q?q(?q)?d???d?F?F?q?Fq??Fq???? 2224??0(2d)aa4??0(d?)24??0(d?)2dd将上式整理后，即得

16a3d5F?(1?4) 24216??0d(d?a)q23-9 当孤立的不带电的导体球位于均匀电场E0中，使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。（提示：利用点电荷与导体球之间的镜像关系。）

解 当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时，可以认为该导体球附近的电场是均匀的，

设E0由点电荷q产生，q到球心的距离为f，球半径

a2为a。根据镜像法，必须在球内距球心d?处引入的镜

f像电荷q???aq。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，f还必须引入另一个镜像电荷?q?，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么球外任一点的电位为

??q4??0r1?q?4??0r2?q?4??0r

式中r，r1，r2分别为该点到球心，电荷q以及电荷q?的距离，即

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