无穷级数求和问题的几种方法

目 录

摘要 ………………………………………………………………………………2 1无穷级数求和问题的几种方法 …………………………………………………2

1.1利用级数和的定义求和 …………………………………………………2 1.2利用函数的幂级数展开式求和 ………………………………………3 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 ……………………………………4 1.4逐项求极限 ……………………………………………………………5 1.5利用Flourier级数求和 …………………………………………………7 1.6构建微分方程 ……………………………………………………………9 1.7拆项法 …………………………………………………………………9 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 ………………………………………10 2总结 ………………………………………………………………………………12 3参考文献 …………………………………………………………………………12

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无穷级数求和问题的几种方法

摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和

无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和

定义 若级数?un的部分和数列?Sn?收敛于有限值S，即mil[1]n?1???n??Sminl?n???un?1?n?S,

则称级数?un收敛，记为?un?S，此时S称为级数的和数；若部分和数数列

n?1n?1?Sn?发散，则称级数?un发散.

n?1?例1 求级数??2n?1?qn?1，q?1的和 .

n?1?解： Sn?1?3q?5q2?7q3???(2n?1)qn?1 (1) qSn?q?3q2?5q3?7q4???(2n?3)qn?1?(2n?1)qn (2) （1）-（2）得：

1?qn?1(1?q)Sn?1?2q?(2n?1)qn

1?q11?qn?1qnSn??2q?(2n?1) 21?q(1?q)1?qlimSn?n??12q? 1?q(1?q)2即级数和

S?12q?. 21?q(1?q) 2

2利用函数的幂级数展开式求和

利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例

e??x1nx,???x??? n!n?0??1??xn,?1?x?1 1?xn?0ln(1?x)???1nx,?1?x?1 n?0n!?x3x5x2n?1nsinx?x?????(?1)??,(???x??)

3!5!(2n?1)!等等. 例2 求?(?1)nn?0?n的和.

(2n?1)!?n?n(2n?1)?11解 : ?(?1)??(?1)n?

(2n?1)!(2n?1)!2n?0n?011?1?11?1n?1nn??(?1)??= (?1)?(?1)???(2n)!2n?0(2n?1)!n?02?(2n)!(2n?1)!?2n?0?注意到

x3x5x2n?1nsinx?x?????(?1)??,(???x??)

3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1?????(?1)??,(???x??) 2!4!(2n)!得

?(?1)n?0?nn1?(cos1?sin1).

(2n?1)!2

3利用逐项求积和逐项求导定理求和 定理

[2]? 设幂级数

?a(x?x)n0n?0n的收敛半径为R,其和函数为S?x?，则在

(x0?R,x0?R)内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对(x0?R,x0?R)内任意一

点x，有：

3

N?0????xx0an(x?x0)??nxan(x?x0)n?1??S(x)dx

x0n?0n?1??ddnn?1??a(x?x)?na(x?x)?S(x) ?00?n??ndxdxn?0n?0

并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R. 例3?3? 计算无穷级数

?xn22?1n?x33?2?x44?3?x55?4?????1?n?nx?1???之和(x?1).

nn解：对于级数?n?0??1?x??1(x?1). 1?x两边从0积分到x得

x?ln?1?x?,(x?1)，

???1?n?1nn?0n?1两边从0积分到x得

???1??n?1??n?2??nn?0xn?2??ln?1?t?dt?xln?1?x??x?ln?1?x?,(x?1)

0x上式右边是原级数. 故级数和

S?xln?1?x??x?ln?1?x?,(x?1).

例4 求幂级数?n?12??1??1????1?n?2nx?1???n?2n的和函数S?x?.

解：令t?x，幂函数?n?1??1?n?1??n11??n(2n?1)?t的收敛半径 ??1n(2n?1) R'?limn??11?(n?1)(2n?1)1?故原函数的收敛半径R?R'?1，从而收敛区间为(?1,1)，而知级数

?(?1)n?1?n?12nxx2???(?x)?,x?(?1,1)， 21?xn?1?2n记?(x)??(?1)n?1?n?1?122n'x,?(0)?0，?(x)??(?1)n?1x2n?1,?'(0)?0

n(2n?1)2n?1n?1 4