高考数学(精讲 精练 精析)专题62 等差数列与等比数列试题 文(含解析)

a1(1?qn)a?anq当q≠1时，Sn= Sn=1

1?q1?q5.当公差d?0时，等差数列递增；当d?0时，等差数列递减；当d?0时，等差数列为常数列 6. 对于等比数列：an=a1qn－1

.可用指数函数的性质来理解.

当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列； 当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列. 当q=1时，是一个常数列.

当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 【规律方法技巧】

1． 等差数列和等比数列通项公式有两个，一个表示的是项an与首项a1关系an?a1?(n?1)d和

an?a1qn?1；另一个表示的是数列任意两项的关系an?am?(n?m)d和an?amqn?m，有时候选择后组，

可以很快求出答案．

2n2． 满足an?pn?q或者Sn?an?bn的数列为等差数列；满足an?ab(a?0,b?0)或者

?a?bn?a,(a?0,b?0,b?1),Sn??的数列为等比数列．

?na,(a?0)3． 等差（或等比）数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1、d（或q）、n、an、Sn，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的． 【考点针对训练】

1. 【20XX年河南郑州高三第二次联考】设数列?an?满足a1?1,a2?3，且2nan?(n?1)an?1?(n?1)an?1，则a20的值是（ ） A．41234 B．4 C．4 D．4 5555【答案】D.

【解析】∵2nan?(n?1)an?1?(n?1)an?1，∴数列{nan}是以a1?1为首项，2a2?a1?5为公差的等差数列，∴20a20?1?5?19?96?a20?244?4，故选D． 552. 【20XX届淮南市高三.二模】 已知数列{an}满足：an?1?2an?0，且a2?2，则{an}前10项和等于（ ）

1?2101?210A． B．? C．210?1 D．1?210

33【答案】B

【考点3】等差数列和等比数列的性质 【备考知识梳理】

1等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq

2等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq

3等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m?Sm、S3m?S2m、S4m? S3m、……仍为等差数列

4等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m?Sm、S3m?S2m、S4m? S3m……仍为等比数列

（当m为偶数且公比为-1的情况除外） 5两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 6两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??an??1??、??仍为等比数列 ?bn??bn?7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 8等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 9．等差中项公式：A=

a?b （有唯一的值） 210. 等比中项公式：G=?ab （ab>0，有两个值） 【规律方法技巧】

1.等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的．

2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．

3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，

“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果． 【考点针对训练】

1. 【20XX届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列?an?中，若a2a5??35,a2?a3?a4?a5?，则441111????（ ） a2a3a4a5A．1 B．?【答案】C

354 C．? D．? 433

2. 【20XX届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列{an}中，a3?a5?20,a4?8，则a2?a6?（ ） A．18 B．24 C．32 D．34 【答案】D

【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a3?a5?20,a4?8，所以

a4a11?a4q?20,?2q2?5q?2?0?q?或2；若q?，则a2?a6?4?a4q2?34；若q?2，则2q2q2a2?a6?a4?a4q2?34，故选D． 2q【应试技巧点拨】

1．等差、等比数列的判定与证明方法：

(1)定义法：an?1?an?d(d为常数)? {an}是等差数列；列；

(2)利用中项法：2an?1?an?an?2 (n?N)?{an}是等差数列；an?1?anan?2 (n?N)?{an}是等比数列(注意等比数列的an?0，q?0)；

?an?1?q (q为非零常数)? {an}是等比数an2?n(3)通项公式法：an?pn?q(p,q为常数)? {an}是等差数列；an?cq(c,q为非零常数)? {an}是等

比数列；

2n(4)前n项和公式法：Sn?An?Bn (A,B为常数)? {an}是等差数列；Sn?mq?m(m为常数，

q?0)? {an}是等比数列；

(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1,a2,a3验证即可．

2．等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,d(或q)，n,an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1,d (或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．

[易错提示] 等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量． 3.等差数列前n项和的最值问题

对于等差数列前n项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：a1?0，d?0时，Sn有最大值；

a1?0，d?0时，Sn有最小值.常用下面两个方法去解决：

(1)若已知Sn，可用二次函数最值的求法（n?N?）；

?an?0?an?0(2)若已知an，则Sn最值时n的值（n?N?）可如下确定?或?.

a?0a?0?n?1?n?14.利用等比数列求和公式注意的问题

在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比q未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比q分

q?1和q?1两种情况进行讨论.

二年模拟

1. 【20XX届邯郸市一中高三十研】已知等比数列?an?的前n项和为Sn，a1?a3?55，且a2?a4?，则24Sn?（ ） an