广东省各市中考数学试题分类汇编 专题7 函数的图像、性质和应用问题

从而根据三角形面积公式SVBOA?11?OB?OA??AB?OC求得OC的长，即原点O到直线l的距离. 22（3）作辅助线：过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据△BOA∽△BDM列式求得MB?5，分点M在直线AB的上、下方两种情况讨论即可. 21

的图象分别交于x

13. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线y?k1x和y?k2x与反比例函数y?两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设P?x1, y1?, Q?x2, y2?, ?x2?x1?0?是函数y?判断a，b的大小关系，并说明理由．

1y?y22, b?图象上的任意两点，a?1，试2x1?x2x

【答案】解：（1）平行.

（2）四边形ABCD可能是矩形，此时k1k2?1，理由如下：

当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.

1??y?k1xx???1???k, k1?. 联立?1，∴A?1，得??k?y?1????x?y??k1??1?, k2?. 同理，B??k??2?∵OA?211? k1，OB2?? k2， k1k2 21

∴

?1?11? k1?? k2，得 ?k2?k1???1??0. k1k2?k1k2?1?1?0. ∴k1k2?1. k1k2∵k2?k1?0， ∴

∴四边形ABCD可以是矩形，此时k1k2?1. （3）a>b.理由如下：

x1?x2??4x1x2x1?x2???y1?y221?11?2????????∵a?b?. 2x1?x22?x1x2?x1?x22x1x2?x1?x2?2x1x2?x1?x2?∵x2 > x1 > 0，∴?x1?x2?>0，2x1x2?x1?x2?>0.

222?x1?x2?>0.∴.

∴a>b2x1x2?x1?x2?【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有OA?OC, OB?OD，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.

（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即OA?OB，据此

列式化简得证.

（3）作差，化简，得出结论.

14. （2015年广东珠海7分）已知抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；

（2）若关于x的方程ax+bx-8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案】解：（1）证明：∵抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1，

∴-222222b=1.∴2a+b=0. 2a2（2）设关于x的方程ax+bx-8=0的另一个根为x2，

∵抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1，

∴x2和4关于直线x=1对称 ，即1-x2=4-1，解得x2=-2.

22

2∴方程的另一个根为-2．

【考点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系.

【分析】（1）由抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1，根据对称轴公式列式化简即可得出结果.

（2）根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax+bx-8=0的两个根是二次函数

22y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标，即两根关于对称轴对称，据此列式求角即可.

另解（代数解法）：∵关于x的方程ax+bx-8=0的一个根为4，

2ìì?2a+b=0?a=1∴16a+4b-8=0，即4a+b=2.联立í，解得，í.

???4a+b=2?b=-22∴关于x的方程为x-2x-8=0，解得x1=4, x2=-2.

∴方程的另一个根为-2．

15. （2015年广东珠海7分）如图，在平面直角坐标中，矩形OABC的顶点A, C分别在x轴，y轴上，函数y=

k

的图像过P(4, 3)和矩形的顶点B(m, n)(0

（1）求k的值；

（2）连接PA, PB，若DABP的面积为6，求直线BP的解析式．

【答案】解：（1）∵函数y=

kk的图像过P(4, 3)，∴4=，即k=12. x312（2）∵点B(m, n)在y=的图像上，∴矩形OABC的面积为12，即m?n12.

x1又∵DABP的面积为6，∴(4-m)n=6，即4n-m?n12.

2ìì?m?n12?m=2

二者联立í，解得í.

???4n-m?n12?n=6

∴点B的坐标为（2，4）.

23

ì3ì4k+b=3?k=-?设直线BP的解析式为y=kx+b，则í，解得í2.

2k+b=6????b=9∴直线BP的解析式为y=-3x+9. 2【考点】反比例函数和一次函数交点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；矩形的性质；方程思想的应用. 【分析】（1）由函数y=

k

的图像过P(4, 3)，根据地点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列式求解即可. x

（2）根据“矩形OABC的面积为12”和“DABP的面积为6”列方程组，求出点B的坐标，从而

应用待定系数法求出直线BP的解析式.

16. （2015年广东珠海9分）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕

OD4=．以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线OE3121l:y=-x-x+c经过点E，且与AB边相交于点F． 162BE=55，且

（1）求证：DABD∽DODE；

（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF^BD；

（3）P是线段BC上的一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD^DQ，在点P运动过程中，能否使得

PD=DQ？ 若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵四边形OABC是矩形，且由折叠的性质知DBCE≌DBDE，

∴?BDE∵?BAD?BCE90?.

90?，∴?EDO?BDA?BDA?DAB90?.∴?EDO?DAB.

90?，∴DABD∽DODE.

又∵?EOD?BAD 24