广东省各市中考数学试题分类汇编 专题7 函数的图像、性质和应用问题

解：（1）将点A(?3, 0)， C(0, 3)代入y??x2?bx?c，得

???9?3b?c?0?b??c?3，解得??2. ?c?3∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3. （2）存在.

∵y??x2?2x?3???x?1?2?4，∴AE?2, DE?4, AD?25. ∴sin?ADE?AE25AD?25?5. 设P??1, p?，

当点P在?DAB的角平分线时，如答图1，过点P作PM?AC于点M， 则PM?PD?sin?ADE?55?4?p?, PE?p， ∵PM?PE，∴55?4?p??p，解得p?5?1. ∴P??1, 5?1?. 当点P在?DAB的外角平分线时，如答图2，过点P作PM?AC于点M，则PM?PD?sin?ADE?55?4?p?, PE??p， ∵PM?PE，∴

55?4?p???p，解得p??5?1. ∴P??1, -5?1?. 13

【答案】 综上所述，DE上存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，点P的坐标为

??1, 5?1?或??1, -5?1?.

3）存在.

假设存在点F，使2S?FBC?3S?EBC， 设F?f, ?f2?2f?3?

∵BE?2, OC?3，∴S?EBC?3. ∵2S9?FBC?3S?EBC，∴S?FBC?2. 设CF的解析式为y?mx?n，则??fm?n??f2?2f?3?m??f?2?n?3，解得??n?3.

∴CF的解析式为y???f?2?x?3. 令y?0，得x?3f?2，即CF与x轴的交点坐标为Q??3??f?2, 0??. 若点F在x轴上方，如答图2，则S?BCF?S?BCQ?S?BFQ， ∴

92?12????1?3?f?2???3?12????1?3?f?2?????f2?2f?3?， 即f2?f?9?0，解得f?1?372（舍去正值）. 14

（

?1?37337?15?337?151?372当f?时，?f?2f?3?.∴F???2, ?. 222??若点F在x轴下方，如答图3，则S?BCF?S?BCQ?S?BFQ， ∴

91?3?1?3?2???1??3??1??????f?2f?3?， 22?f?2?2?f?2?2即f?f?9?0，解得f?1?37（舍去正值）. 2当f?337?151?372>0，不符合点F在x轴下方，舍去. 时，?f?2f?3?22综上所述，DE的左侧抛物线上存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，点F的坐标为

?1?37337?15?. ???2, ?2??

【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.

【分析】（1）将点A(?3, 0)， C(0, 3)代入y??x?bx?c即可求解.

（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点P在?DAB的角平分线和点P在?DAB的外角平分线两种情况讨论即可.

（3）由已知求出S?FBC?29，分点F在x轴上方和点F在x轴下方两种情况讨论，当点F在x轴上2方时，S?BCF?S?BCQ?S?BFQ；当点F在x轴下方时，S?BCF?S?BCQ?S?BFQ，据此列方程求解.

15

9. （2015年广东9分）如图，反比例函数y?k(k≠0，x＞0)的图象与直线y?3x相交于点C，过直线上x点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.

【答案】解：（1）∵A(1，3)，∴OB=1，AB=3.

又∵AB=3BD，∴BD=1. ∴D(1，1). ∵反比例函数y?kx(k≠0，x＞0)的图象经过点D，∴k?1?1?1. （2）由（1）知反比例函数的解析式为y?1x， ?y?3x?3?3解方程组???x?3或???x??3?y?1，得?（舍去）， x??y?3??y??3∴点C的坐标为(33，3). （3）如答图，作点D关于y轴对称点E，则E(?1,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.

设直线CE的解析式为y?kx?b，则 ??3???k?2?3k?b?3，解得?3?3， ??k?b?1??b?23?2∴直线CE的解析式为y?(23?3)x?23?2. 当x=0时，y=23?2， ∴点M的坐标为(0，23?2).

16