当前位置：首页 > 广东省各市中考数学试题分类汇编 专题7 函数的图像、性质和应用问题
（2）联立y??x?4x和y?21x即可求出点A的坐标. 2（3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交OA于点B”，将SVPOA转化为S?OBP和S?BAP之和. （4）作辅助线“过点P作PM//OA交抛物线于另一点M”，则△MOA的面积等于△POA的面积，设
1x?m， 21将P?2, 4?代入，得4??2?m?m?3，
21∴直线PM的解析式为y?x?3.
2直线PM的解析式为y?3??y??x2?4xx??x?2???2联立?，解得，或. ??115y?4??y??y?x?3?2??4∴点M的坐标为??315?, ?. ?24?m?7的图象的一支位于第一象限. x（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数y?（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若?OAB的面积为6，求m的值.
【答案】解：（1）∵反比例函数y?m?7的图象的一支位于第一象限， x∴该函数图象的另一支位于第三象限.∴m?7>0，解得m>7. ∴m的取值范围为m>7. （2）设A?a, ??m?7??， a? 9
∵点B与点A关于x轴对称，∴AB?2?m?7?. a∵?OAB的面积为6，∴
2?m?7?1?a??6，解得m?13. 2a【考点】反比例函数综合题；解一元一次不等式；轴对称点的性质. 【分析】（1）根据反比例函数y?k?k?0?的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图x象分别位于第二、四象限.由反比例函数y?到m?7>0，解之即可.
（2）设A?a, m?7的图象的一支位于第一象限，得另一支位于第三象限，得x??m?7??，根据“关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数”得a?到AB的长，根据?OAB的面积为6列方程求解即可.
27. （2015年广东广州10分）已知O为坐标原点，抛物线y1?ax?bx?c(a?0)与x轴相交于点
A(x1, 0),B(x2, 0).与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2?0, x1?x2?4，，点A，C在直线y2??3x?t上. （1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n(n?0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n?5n的最小值. 【答案】解：（1）令x?0，得y1?c，∴C?0, c?.
∵O，C两点之间的距离为3，∴c?3，解得c??3. ∴点C的坐标为?0, 3?或?0, -3?. （2）∵x1?x2?0，∴x1, x2异号.
①若C?0, 3?，把C?0, 3?代入y2??3x?t得3?0?t，即t?3. ∴y2??3x?3.
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2把A?x1, 0?代入y2??3x?3得0??3x1?3，即x1?1.∴A?1, 0?. ∵x1, x2异号，x1?1>0，∴x2<0.
∵x1?x2?4，∴1?x2?4，1?x2?4，x2??3.∴B??3, 0?.
?a?b?3?0?a??1把A?1, 0?，B??3, 0?代入y1?ax?bx?3，得?，解得?.
9a?3b?3?0b??2??2∴y1??x?2x?3???x?1??4.∴当x??1时，y1随着x的增大而增大.
22②若C?0, -3?，把C?0, -3?代入y2??3x?t得?3?0?t，即t??3. ∴y2??3x?3.
把A?x1, 0?代入y2??3x?3得0??3x1?3，即x1??1.∴A??1, 0?. ∵x1, x2异号，x1??1<0，∴x2>0.
∵x1?x2?4，∴?1?x2?4，1?x2?4，x2?3.∴B?3, 0?.
?a?b?3?0?a?12y?ax?bx?3把A??1, 0?，B?3, 0?代入1，得?，解得?.
9a?3b?3?0b??2??∴y1?x?2x?3??x?1??4.∴当x?1时，y1随着x的增大而增大.
22综上所述，若C?0, 3?，当y1随着x的增大而增大时，x??1；若C?0, -3?，当y1随
着x的增大而增大时，x?1.
2（3）①若C?0, 3?，则y1??x?2x?3???x?1??4，y2??3x?3，
2y1向左平移n(n?0)个单位后的解析式为y3???x?1?n??4，则当x??1?n时，y3随着x的增大而增大.
直线y2向下平移n个单位后的解析式为y4??3x?3?n. 要使平移后直线与P有公共点，则当x??1?n时，y3?y4，
即???1?n?1?n??4??3??1?n??3?n，解得n??1，与n>0不符，舍去.
2②若C?0, -3?，则y1?x?2x?3??x?1??4，y2??3x?3，
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y1向左平移n(n?0)个单位后的解析式为y3??x?1?n??4，则当x?1?n时，y3随
着x的增大而增大.
直线y2向下平移n个单位后的解析式为y4??3x?3?n. 要使平移后直线与P有公共点，则当x?1?n时，y4?y3， 即?3?1?n??3?n???1?n?1?n??4，解得n?1. 综上所述，n?1.
225?25?∵2n2?5n?2?n???，
48??∴当n?25252时，2n?5n的最小值为?. 48【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.
2【分析】（1）一方面，由点C在抛物线y1?ax?bx?c(a?0)得到C?0, c?，另一方面，由O，C两点之
间的距离为3，得到c??3，从而得到点C的坐标.
（2）分C?0, 3?和C?0, -3?两种情况讨论.
（3）分C?0, 3?和C?0, -3?两种情况讨论得到n的范围内n?1，从而根据二次函数最值原理即
可求解.
8. （2015年广东深圳9分）如图1，关于x的二次函数y??x?bx?c经过点A(?3, 0)，点C(0, 3)，点
2D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由； （3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由.
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