2020高考数学一轮复习第五章数列5-2等差数列及其前n项和课时提升作业理

2019年

π,因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,需要分两种情况进行讨论:m>0和m<0,再利用等差数列的性质进行求解. 【解析】函数f(x)=cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1,x2,所以x1=,x2=π, 因为方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,

若m>0,则由余弦函数的图象知x3,,π,x4构成等差数列, 可得公差d=-=π,则x3=-π=-<0,显然不可能;

若m<0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,π构成等差数列,可得3d=-,解得d=, 所以x3=+=,m=cosx3=cosπ=-. 答案:-

4.(12分)(2016·惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2且n∈N*). (1)求证:数列是等差数列. (2)求Sn和an.

【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,① 所以Sn(1+2Sn-1)=Sn-1. 由上式知若Sn-1≠0,则Sn≠0. 因为S1=a1≠0,

由递推关系知Sn≠0(n∈N*), 由①式得-=2(n≥2).

所以是等差数列,其中首项为==2,公差为2. (2)由(1)可得因为=+2(n-1)=2+2(n-1)=2n, 所以Sn=.

2019年

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-, 当n=1时,a1=S1=不适合上式, 所以an=

5.(13分)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1= λSn-1,其中λ为常数. (1)证明:an+2-an=λ.

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

【解析】(1)由题设anan+1=λSn-1,得an+1an+2=λSn+1-1. 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)由题设a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得:

{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

【加固训练】(2016·安庆模拟)已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p,q∈R,且p,q为常数).

(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.

2019年

【解析】(1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0. 故当p=0,q∈R时,数列{an}是等差数列. (2)因为an+1-an=2pn+p+q, 所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,

所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. 所以{an+1-an}是等差数列.