5[1].4 数列的综合应用

5.4 数列的综合应用

一、选择题

1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，则a100等于( ) A．9 900 B．9 902 C．9 904 D．11 000

解析：由已知an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋2＝n2－n＋2，∴a100＝9 902. 答案：B

2．数列{an}前n项和Sn与通项an满足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，则a10－a100的值为( ) A．90 B．180 C．360 解析：∵Sn＝nan＋2n2－2n，①

∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1)．② ①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2，

整理得an－an－1＝－4，即{an}为公差为－4的等差数列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360. 答案：C

D．400

3．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点． 已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A．4

B．5

C．6 D．7

1，2

解析：正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：2, 2，1，

116[1－()n]

2111，…，n层正方体的表面积为：8＋＝40－32()n.由已知：40－32()n>39， 2122

1－

2整理得：2n>32，∴n>5. 答案：C

2112

4．数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝x(n≥2)，则xn等于( )

3xn－1xn＋1n

2

A. n＋1

2－2B．()n1 C．()n

33

2

D. n＋2

2112111111解析：由x1＝1，x2＝，＋＝(n≥2)得：－＝－，{－}组成

xnxn－1xn＋1xnxnxn－13xn－1xn＋1xn

n－1n＋111111111n－1

常数列，首项－＝，x－＝，x＝＋＝1＋＝.

x2x12nxn－12x1222n答案：A 二、填空题

2

5．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－nan＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________. 2

解析：(n＋1)a2n＋1－nan＋an＋1an＝0，即为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，

而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， an＋1n－11na2a3a4an123即a＝，∴an＝a1…＝1····…·n＝n.

a1a2a3an－1234n＋1n1

答案：n 6．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________. 解析：设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－

4

a＜0. 331

437

解不等式an＞0，即a1＋(n－1)(－a1)＞0，所以n＜，则n≤9，

334

当n≤9时，an＞0，同理可得n≥10时，an＜0.故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案：9

an＋1n＋2

7．已知数列{an}满足a＝n(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.

n

解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知可得，当n≥2时利用累积法

a2a3annn＋1n(n＋1)345

得：an＝a1···…·＝1····…··＝，又验证知a1＝1也适合，故an

a1a2an－11232n－2n－1

n(n＋1)＝. 2答案：

n(n＋1)

2

三、解答题

8．已知a＞0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn＝anlg an(n∈N*) (1)求数列{bn}的前n项和Sn；

(2)当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的范围．

解答：(1)根据已知条件an＝a1qn1＝an，∴bn＝anlg an＝nanlg a．Sn＝b1＋b2＋…＋bn

－

＝(a＋2a2＋…＋nan)lg a，①

∴aSn＝[a2＋2a3＋…＋(n－1)an＋nan1]lg a．②

＋

①－②得(1－a)Sn＝(a＋a＋…＋a－naa(1－an)nan1

∴Sn＝[－]lg a.

(1－a)21－a

＋

2nn＋1

a(1－an)＋

)lg a＝[－nan1]lg a，

1－a

(2)根据已知条件：bn＜bn＋1，即nanlg a＜(n＋1)an1lg a，nlg a＜(n＋1)alg a，

＋

①若lg a＞0即a＞1时，n＜(n＋1)a即

n

＜a，∴a＞1； n＋1

nn11

②若lg a＜0即0＜a＜1时，n＞(n＋1)a即＞a，≥，∴a＜. 2n＋1n＋121

由①②可知满足条件的a的范围是0＜a＜或a＞1.

2

9．在等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，且an＋1＜an(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an，求Tn的最大值及此时的n值．

???a1＋a6＝33，?a1＋a6＝33，

解答：(1)根据已知条件：?即?又an＋1＜an，

?a3a4＝32.???a1a6＝32.

5111－

可解得a1＝32，a6＝1，q＝ ＝，∴an＝32·n－1＝26n.

3222(2)Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an＝lg(a1a2…an)＝lg(25·24…·26n)

－

＝lg 2

[5＋4＋…＋(6－n)]

11n－n2

＝lg 2，

2

当n＝5或n＝6时，Tn取到最大值15lg 2.

10．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为an%，B喷雾器中药水的浓度为bn%. (1)证明：an＋bn是一个常数；(2)求an与an－1的关系式；(3)求an的表达式．

解答：(1)证明：开始时，A中含有10×12%＝1.2千克的农药，B中含有10×6%＝0.6千克的农药，n次操作后，A中含有10×an%＝0.1an千克的农药，B中含有10×bn%＝0.1bn千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而0.1an＋0.1bn＝1.2＋0.6，∴an＋bn＝18(常数)．

(2)第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：9×an－1＋1×bn－1＝10an

49

由(1)知bn－1＝18－an－1，代入化简得an＝an－1＋.①

5544(3)令an＋λ＝(an－1＋λ)，利用待定系数法可求出λ＝－9，所以an－9＝(an－1－9)，可知

55

4

数列{an－9}是以a1－9为首项，为公比的等比数列．由①得，

5

494957a1＝a0＋＝×12＋＝ 55555

4－124－44

由等比数列的通项公式知：an－9＝(a1－9)()n1＝()n1＝3()n，所以an＝3()n＋9.

55555

1．若数列{an}前8项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍

{an}前8项值的数列为( ) A．{a2k＋1} B．{a3k＋1} C．{a4k＋1} D．{a6k＋1} 解析：∵an＋8＝an，

∴an为每8项为一循环的周期数列．设{amk＋1}取遍{an}的前8项，(1＜m＜8)． ∵当m＝2、4、6时，mk＋1为奇数，显然不符合题意．∴m只能取3、5或7，∴B项为正确选项． 答案：B

3an3

2．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….

52an＋1(1)求{an}的通项公式； (2)证明：对任意的x＞0，an≥

112

－2(n－x)，n＝1,2，…； 1＋x(1＋x)3

n2

(3)证明：a1＋a2＋…＋an＞. n＋1解答：(1)∵an＋1＝

3an121111

，∴＝＋，∴－1＝(a－1)，

3n2an＋1an＋133anan＋1

12121

又－1＝，∴{－1}是以为首项，为公比的等比数列．

ana13333n1212

∴a－1＝·n－1＝n，∴an＝n. 3333＋2n

3n

(2)证明：证法一：由(1)知an＝n＞0，

3＋2112112－－2(n－x)＝2(n＋1－1－x) 1＋x(1＋x)31＋x(1＋x)3＝

111112－2[－(1＋x)]＝－·2＋an(1＋x)1＋x 1＋x(1＋x)an

11＝－a(－an)2＋an≤an，∴原不等式成立．

n1＋x证法二：设f(x)＝

112－2(n－x)， 1＋x(1＋x)3

22－(1＋x)2－(n－x)·2(1＋x)2(n－x)

331

则f′(x)＝－－＝. (1＋x)2(1＋x)4(1＋x)3

22

∵x＞0，∴当x＜n时，f′(x)＞0；当x＞n时，f′(x)＜0，

33221

∴当x＝n时，f(x)取得最大值f(n)＝＝an.∴原不等式成立．

332

1＋n3

1121－－2(－x)＋1＋x(1＋x)31＋x

n121121222

－－2(2－x)＋…＋2(n－x)＝2(＋2＋…＋n－nx)． 3(1＋x)31＋x(1＋x)31＋x(1＋x)33(3)证明：由(2)知，对任意的x＞0，有a1＋a2＋…＋an≥21(1－n)33122211

∴取x＝n(＋2＋…＋n)＝＝n(1－n)，

33313

n(1－)3

n2

则a1＋a2＋…＋an≥＝＞.∴原不等式成立．

111n＋11＋n(1－n)n＋1－n33

n

n2