《中考6份试卷合集》海南省三亚市中考第三次大联考数学试卷

26．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）判断四边形ACDF的形状；

（2）当BC=2CD时，求证：CF平分∠BCD．

【参考答案】*** 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B 10．C 二、填空题 11．

3015或． 4712．35 13．2 14．?3

15．ab(a+1)(a-1) 16．x≠－17．4 18．

1 319．2 三、解答题

20．(1)①∠BPC=120°；②点P到BC的最大距离；③

；(2)点A'的路径长是点P的路径长的2

倍． 【解析】 【分析】

（1）①利用等边三角形的性质证△AEB与△BCF全等，得到∠EBA=∠BCF，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB的度数；

②由题意可知当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P到BC的最大距离；

③由题意知点P的路径长为弧BC的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果；

（2）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，因为圆P是△A'BC的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，其半径为2据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P的路径长的2倍． 【详解】

(1)①∵△ABC是等边三角形， ∴∠CBA=∠A=60°，AB=BC， ∵AE=BF，

∴△AEB≌△BCF(SAS)， ∴∠EBA=∠BCF，

∵∠EBA+∠CBE=60°，∠EBC+∠BCF+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°；

②如图1所示，由于∠BPC始终为120°，故过点B，P，C作圆O，

，圆心角240°，根

∴∠BOC=120°，

当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大， ∵OB=OC，

∴∠BOP=∠BOC=60°， NB=BC=3， ∴ON=，OB=2

，

-=

；

∴点P到BC的最大距离PN=2

③点P的路径长为弧BC的长， ∴弧BC=

=

=

；

(2)由(1)中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°， 可得∠CBP+∠BCP=60°， 又∵圆P是△A'BC的内切圆， ∴∠CBA'+∠BCA'=120°，

∴∠CA'B=60°，

∴A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点， 由题意可得等边三角形ABC外接圆的半径为2，

∴点A'的路径是优弧BAC的长度，即以240°的圆心角，半径为2的弧长， 如图，所以点A'的路径长=

=

=

，

∵：=2：1，

∴点A'的路径长是点P的路径长的2倍． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的的判定与性质，勾股定理，垂径定理，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形．

CD3CD31CD22??21．（1）1；（2），见解析；（3）的比值是定值，. BE3BE32cos?BE22【解析】 【分析】

（1）如图①中，利用等边三角形的性质证明△D1AC≌△E1AB（SAS）即可． （2）结论：

CD22?，证明△AD2C∽△AE2B即可解决问题． BE22CD3CD31?（3）结论：的比值是定值，．证明方法类似（2）．

BE3BE32cos?【详解】 （1）如图①中，

∵CA＝CB，∠CAB＝60°， ∴△ACB是等边三角形， ∵AD＝DC，AE＝EB，

∴△AED，△AD1E1都是等边三角形，

∴AD1＝AE1，∠D1AE1＝∠CAB＝60°，AC＝AB， ∴∠D1AC＝∠E1AB， ∴△D1AC≌△E1AB（SAS）， ∴CD1＝BE1，

∴

CD1 ＝1， BE1故答案为1． （2）结论：

CD22＝ BE22理由：如图②中，连接CE．

∵CA＝CB，点D，E是边AB，AC的中点， ∴CE⊥AB，AB＝2AE＝2AE2，AC＝2AD＝2AD2， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，

∵∠AEC＝90°，∠CAB＝45°， ∴AE＝AC?cos∠CAB＝AC?cos45°＝∴AB＝2AE＝2×∴

2AC＝2 AC， 22AC， 2ACAC2?＝， AB2AC2∵∠D2A E2＝∠CAB，∠D2AC＝∠D2A E2﹣∠CAE2，∠E2AB＝∠CAB﹣∠CAE2， ∴∠D2AC＝∠E2AB， 又∵

AC2AD2AD2??， AB2AE2AE2∴△AD2C∽△AE2B， ∴

CD2AC2??． BE2AB2CD3CD31（3）结论： 的比值是定值，＝ ．

BE3BE32cos?理由：如图③中，连接EC．

∵CA＝CB，AE＝EB， ∴CE⊥AB， ∴

CAAC11??? ， AB2AE2cos∠CAE2cos?同法可证：△AD3C∽△AE3B， ∴

CD3AC1?? ， BE3AB2cos?【点睛】