2015年四川省达州市中考数学试卷

【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

七、解答题（共1小题，满分12分） 25．（12分）（2015?达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，则有：GD=GD′，EF=E′F，从而得：（DG+GF+EF+ED）的最小值=D′E′+DE，求出D′E′与DE的长即可得到答案．

（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x+bx+c，得

，

2

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解得．

2

故二次函数的表达式y=x﹣x+4；

（2）如图：

延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，

GD=GD′EF=E′F，

（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE， 由E点坐标为（5，2），BC的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）． 由勾股定理，得 DE=

=

，D′E′=

+

；

=

，

（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=

（3）如下图： OD=

．

∵S△ODP的面积=12， ∴点P到OD的距离=过点O作OF⊥OD，取OF=3

=3

．

，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，

在Rt△OGF中，OG=

∴直线GF的解析式为y=x﹣6． 将y=x﹣6代入y=解得：

，

得：x﹣6=

，

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==6，

，

将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=∴点P1（如下图所示：

，

），P2（

，y2=

，

）

过点O作OF⊥OD，取OF=3在Rt△PFO中，OG=

∴直线FG的解析式为y=x+6， 将y=x+6代入y=解得：y1=x1+6=∴p3（

，，y2=x2+6=，

，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4， =6

得：x+6=

），p4（

，

）或（

，

，

） ，

）．

）或

综上所述：点P的坐标为：（（

，

）或（

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【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．

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参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；lantin；sks；放飞梦想；星期八；sd2011；ZJX；gsls；CJX；王学峰；fangcao；1339885408@qq.com；守拙；zcx；wdzyzmsy@126.com；HLing；梁宝华（排名不分先后） 菁优网

2016年1月11日

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