专题：比较二次根式大小

专题：比较二次根式大小

二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法

将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较解：

的大小。

＞

∴

＞

二、运用平方法

两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较解：∵

＞0，

∴

＜

与，＞0

的大小。

三、分母有理化法

此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：

∴＞

四、分子有理化法

此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小

解：∵

＞

∴＞

五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设＜0时，＜；当小。

求商法的基本思路是：设

为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当时，

；当

＞0时，＞”来比较与的大

同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大

于负数” 来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵

＜

∴

例6：比较

＜的大小。

解：∵

∴

＞

＞1

六、求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较

的大小。

解：∵

＞

∴

＜

七、运用媒介法

此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。 例8：已知的大小。 解：设则∵

＜

，∴，

，

＜

，即

＜

，

，试比较

八、设特定值法

如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

例9：比较

与

的大小。

解：设，则： ＝1，

＝＞

∵＜1，∴

九、局部缩放法

如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较解：设

∵

，，7＜，8＜

∴＜，即

＜

的大小。

＜8，即7＜＜8 ＜9，即8＜＜9

例11：比较与的大小。

解：∵＞

∴

十、“结论”推理法

＞

通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞

＞（

＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。

的大小。 ，

＞＞

（＞

＞0）可知：

例12：比较1与解：∵由