湖南省长沙市一中2010届高三第一次模拟考试（数学理）

长沙市一中高三第一次模拟试题

理科数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在各小题所给的四个选项中只有一

个符合题目要求）

1．已知复数z1=2+i，z2=3 – i，其中i是虚数单位，则复数

A．0

1B．

2z1的实部与虚部之和为（ ） z2 C．1 D. 2

2．在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布18 0 1

的茎叶图如图．已知记录的平均身高为177cm，但有一名候选人的身170 3 x 8 9 高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为

A．5

B．6

C．7

A A1 A1 A2 A2 72

B B1 B2 B1 B2 83.5 73

D．8 C C1 C2 C2 C1 80 76.5

实验结果 79 65 88 81 （ ）

3．某化工产品的产量受A、B、C

三个因素的影响，每个因素有两个水平，分别用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示．分析如右正交试验结果表，得到最佳因素组合（最佳因素组合是指实验结果最大的因素组合）为（ ） A．(A1，B2，C1)

实验号 列 号

1 2 3 4

1水平的平均值

2水平的平均值 84.5

B．(A2，B1，C2) C．(A2，B1，C1) D．(A2，B2，C2)

4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个

几何体的体积（单位：cm3）是 （ ）

A．4

5．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y = x2图像下方的点构成的区

B．5

C．6

D．7

域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ） A．

1B．

415y 4

C． 1D．

213–2 2 x 6．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英

语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A．72种

B．54种

C．36种

D．18种

?x2?5x,0?x?3?7．已知函数f (x) = ?6，若存在实数m,n?[0,5],且m?n,使得f (x)在区间[m，

?10?2x,3?x?5?n]上的值域为[m，n]，则这样的实数对（m，n）共有（ ） A．1对

C．3对

B．2对 D．4对 4?0的两根，则过两点A (a，a)，B (b，b)

2

2

8．已知a、b是关于x的方程x2sin??xcos???的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）

A．相交 C．相切

B．相离 D．不能确定

开始 k=1 S?0k ?50?是否二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分；将各小题的最后结果填在题中相应的横在线）

9．如果执行的程序框图如右图所示，那么输出的S= .

?????????????????????10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2OA?AB?AC?0,且|OA|?|AB|,

S ?S?2k输出S k?k?1 结束则BA?BC= .

x2y211．已知直线l的极坐标方程是?sin(??)?1，若直线l与双曲线2??1(a?0)的一条渐

36a?近线平行，则实数a = ．

12．不等式x?1?x?a?2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 13．某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了105人，并规定：身高

大于175cm的为“高个”，小于或等于175cm的为“非高个”；脚长大于42码的为“大脚”，小于或等于42码的为“非大脚”．根据测得结果得到一个2×2列联表．根据该表信息，能够以 的把握认为“脚的大小与身高有关系”．（填百分比）．

大 脚 非大脚 总 计

2高 个 20 10 30

非高个 30 45 75

总 计 50 55 105

n(ad?bc)2 附：k?，其中n = a + b + c + d．

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P (k2≥k0)

k0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

14．已知函数f (x) = log2x?3sin(2?x),则函数y = f (|x|)的零点个数为 ．

15．给定项数为m (m∈N*，m≥3)的数列{an}，其中ai∈{0，1}(i= 1，2，3，…，m),这样的

数列叫”0-1数列”.若存在一个正整数k (2≤k≤m – 1)，使得数列{an}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”．例如数列{an}:0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”.

（1）已知数列{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列 “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；

（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为 “2阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知向量a?(8cos?,2),b?(sin??cos?,3),设函数f(?)?a?b． （1）求函数f(?)的最大值；

（2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)?6,且△ABC的

面积为3，b?c?2?32,求a的值．

????17. “上海世博会”将于2010年5月1日至10月31日在上海举行。世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，其中陈列的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局将举办“中国2010年上海世博会?中国馆·贵宾厅?艺术品方案征集”活动．某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作1参与应征，假设这四件代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为，

4陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为．假定这四件作品是否入选相互没有影响．

（1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率; （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量?，求?的数学期望.

18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB = 4，CD = 2，等腰梯形的高为3，O为AB

中点，PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO = 2，EA∥PO． （1）求证：BD⊥平面EAC；

（2）求二面角E—AC—P的平面角的余弦值．

19．某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种

型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为

1a,mln(b?1)1013P

E O D C

B

A

万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．