2019年高考数学二轮复习课件及学案专题八 选修4系列选讲专题跟踪训练31

专题跟踪训练(三十一)

1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中,直线C1：x＝－2,圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1,C2的极坐标方程．

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R),设C2与C3的交点分别为M,N,求△C2MN的面积．

[解] (1)∵x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,

∴C1：x＝－2的极坐标方程为ρcosθ＝－2,

C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的极坐标方程为(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2

＝1,化简,得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0.

π

(2)把直线C3的极坐标方程θ＝4(ρ∈R)代入 圆C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0, 得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝2. ∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝2.

∵圆C2的半径为1,∴C2M2＋C2N2＝MN2,∴C2M⊥C2N. 111

∴△C2MN的面积为2·C2M·C2N＝2×1×1＝2.

32．(2018·洛阳联考)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2＝,1＋2sin2θπ??

已知点R?22，4?.

??

(1)以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标．

(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标．

[解] (1)∵x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2. x22

∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1. 点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设点P(3cosθ,sinθ),根据题意得Q(2,sinθ),即可得|PQ|＝2－3cosθ,|QR|＝2－sinθ,

∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)． ∴当θ＝30°时,|PQ|＋|QR|取最小值2, ∴矩形PQRS周长的最小值为4.

?31?此时点P的直角坐标为?2，2?.

??

3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中,C1的参数

?

方程为?2

?y＝1＋2t2

x＝1－2t，

(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的非负

半轴为极轴的极坐标系中,C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.

(1)说明C2是哪种曲线,并将C2的方程化为直角坐标方程． π????,求线段AB2，(2)C1与C2有两个公共点A,B,定点P的极坐标4??的长及定点P到A,B两点的距离之积．

??x＝ρcosθ，

[解] (1)将?222代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐

?x＋y＝ρ?

标方程为(x－1)2＋y2＝4,所以C2是圆．

(2)将C1

?的参数方程?2

?y＝1＋2t

2

x＝1－2t，

(t为参数),代入(x－1)2＋y2

?2?2?2?2

＝4中得?－t?＋?1＋t?＝4,化简,得t2＋2t－3＝0.

2??2??

设两根分别为t1,t2,

??t1＋t2＝－2，

由根与系数的关系得?

?t2＝－3.?t1·

所以|AB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝2＋12＝14, 定点P到A,B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.

4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程24

是ρ＝,在以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取

4cosθ＋3sinθ相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为

??x＝cosθ?(θ为参数)． ?y＝sinθ?

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;

??x′＝22x，

(2)将曲线C2经过伸缩变换?后得到曲线C3,若M、

??y′＝2y

N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值．

[解] (1)∵C1的极坐标方程是ρ＝∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24, ∴4x＋3y－24＝0,

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

24

,

4cosθ＋3sinθ