2年模拟（新课标）高考数学一轮复习 7.4不等式的综合问题

§ 7.4 不等式的综合问题

1.(2014河北石家庄调研)已知正整数a,b满足4a+b=30,则+取最小值时,实数对(a,b)是( ) A.(5,10)

B.(6,6)

C.(10,5) D.(7,2)

2.(2014深圳调研)把一段长16米的铁丝截成两段,分别围成两个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为( )

A.4 m B.8 m C.16 m D.32 m

3.(2015北京海淀期中,12)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=(t>0),则经过 h后池水中药品的浓度达到最大.

4.(2014武汉外国语学校月考)已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)

5.(2014北京顺义模拟,13)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为 .

6.(2014昌乐二中单元检测)已知函数f(x)=ax+x-a,a≥0,求不等式f(x)>1的解集.

1.(2014珠海调研)已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·a=1,c·b=1,|c|=,则对任意的正实数t,的最小值是( )

A.2 B.2 C.4 D.4

2.(2014河南信阳3月,8)已知m>0,a1>a2>0,则使得≥|aix-2|(i=1,2)恒成立的x的取值范围是( ) A. B.

C.

D.

3.(2014山东日照二模,12)已知两条直线l1:y=a和l2:y=(其中a>0),l1与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m,n.当a变化时,的最小值为( ) A.4 B.16

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A组 2014—2015年模拟·基础题组

限时:25分钟

B组 2014—2015年模拟·提升题组

限时:35分钟

C.2

11

D.2

1

10

4.(2015浙江桐乡一中等四校期中联考,16)若|x+1|+|2x+a|≥-y+2y+2对于任意的x,y恒成立,则实数a的取值范围为 .

5.(2014湖南六校4月联考)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,则m的取值范围为 .

6.(2015湖南岳阳一中第三次月考,18)设约束条件所确定的平面区域为D. (1)记平面区域D的面积为S=f(t),试求f(t)的表达式.

(2)设向量a=(1,-1),b=(2,-1),Q(x,y)在平面区域D(含边界)上,=ma+nb(m,n∈R),用x,y表示m+3n,且当面积S取到最大值时,求m+3n的最大值.

A组 2014—2015年模拟·基础题组

1.A +==≥=,当且仅当=,即b=2a时取等号,结合4a+b=30,可得a=5,b=10时,+取最小值,故选A.

2.B 设截成的两段铁丝长分别为x m,(16-x)m,其中0

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2

解析 C===≤=5(t>0),当且仅当t=,即t=2时C取得最大值,故经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 4.答案 9

解析 ∵f(x)=x+ax+b的值域为[0,+∞),∴b-=0, ∴f(x)=x+ax+a=.

又∵f(x)

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5.答案 2

解析 画出可行域,如图所示,目标函数可变形为y=-x+,又由已知得-<0,∴目标函数直线纵截距最大时z取到最大值,故当目标函数直线过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,所以由基本不等式得8=2a+4b≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.

6.解析 f(x)>1即ax+x-a>1,即(x-1)·(ax+a+1)>0, ①当a=0时,解集为 {x|x>1};

②当a>0时,原不等式等价于(x-1)·>0,∵1>-1-, ∴解集为.

综上,a=0时,原不等式解集为{x|x>1};a>0时,原不等式解集为.

B组 2014—2015年模拟·提升题组

1.B =c+ta+b+2ta·c+c·b+2a·b=2+t++2t+≥2+2+2=8(t>0),当且仅当t=,且2t=,即t=1时等号成立,故的最小值为2.

2.C 因为=m+≥2(m>0,当且仅当m=1时等号成立),所以要使原不等式恒成立,则

2≥|aix-2|(i=1,2)恒成立,即-2≤aix-2≤2(i=1,2),所以0≤aix≤4(i=1,2),因为a1>a2>0,所以即0≤x≤,所以使原不等式恒成立的x的取值范围是,故选C.

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3

3.C 设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA=4,xB=4,xC=,xD=,则=,分子与分母同乘以,可得==,又2a+=2a+1+-1≥2-1=11,当且仅当2a+1=6,即a=时,“=”成立,所以的最小值为2.故选C.

4.答案 (-∞,-4]∪[8,+∞)

解析 根据题意可知,问题等价于求使(|x+1|+|2x+a|)min≥(-y+2y+2)max=3成立的a的取值范围.

①当a=2时,|x+1|+|2x+a|=3|x+1|,其最小值为0,显然不合题意,舍去a=2;②当a<2时,若x<-1,则|x+1|+|2x+a|=-x-1-2x-a=-3x-1-a>2-a,若-1≤x≤-,则

|x+1|+|2x+a|=x+1-2x-a=-x+1-a≥1-,若x>-,则|x+1|+|2x+a|=x+1+2x+a=3x+1+a>1-,可知当a<2时,(|x+1|+|2x+a|)min=1-,此时只需1-≥3?a≤-4(满足a<2);③当a>2时,若x<-,则|x+1|+|2x+a|=-x-1-2x-a=-3x-1-a>-1,若-≤x≤-1,则|x+1|+|2x+a|=-x-1+2x+a=x+a-1≥-1,若x>-1,则|x+1|+|2x+a|=x+1+2x+a=3x+1+a>a-2,可知当a>2时,(|x+1|+|2x+a|)min=-1,此时只需-1≥3?a≥8(满足a>2).综上,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[8,+∞). 5.答案 m≤1

解析 不等式f(x)≥1可等价变形为|x+1|+|x-2|-m≥2,即|x+1|+|x-2|≥2+m,又因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,故2+m≤3,所以m≤1.

6.解析 (1)由约束条件所确定的平面区域是如图所示的五边形ABCEP及其内

部,∴S=S△OPD-S△AOB-S△ECD,而S△OPD=×1×2=1,S△OAB=,S△ECD=(1-t),∴S=1-t-(1-t)=-t+t+,即f(t)=-t+t+(0

2

2

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2

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11

-aa

(2)由=ma+nb得(x,y)=m(1,-1)+n(2,-1), ∴?m+3n=2x+y. ∵S=f(t)=-t+t+,0

∴当t=时,面积S取到最大值,此时,点E的坐标为,令z=2x+y,由线性规划知识可知,直线y=-2x+z经过点E时z取到最大值,∴当面积S取到最大值时,m+3n的最大值为.

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