2019年全国中考数学真题精选分类汇编：圆(解答题)含答案解析

（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；

（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得

，即可求CM的长．

【解答】证明：（1）连接OM，

∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM， ∵BM平分∠ABD， ∴∠OBM＝∠MBF， ∴∠OMB＝∠MBF， ∴OM∥BF， ∵MF⊥BD，

∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°， ∴MF是⊙O的切线； （2）如图，连接AN，ON

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∵

＝

，

∴AN＝BN＝4 ∵AB是直径，

＝

，

∴∠ANB＝90°，ON⊥AB ∴AB＝

＝4

＝1 ﹣1

∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝∴AC＝2

＝

+1，BC＝2

∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB ∴

∴AC?BC＝CM?CN ∴7＝3?CM ∴CM＝

【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC的长是本题的关键．

10．（2019?葫芦岛）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角

线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF． （1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．

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【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得∠EFC+∠OFA＝90°，即可证得∠EFO＝90°，即EF⊥OF，从而证得结论；

（2）根据圆周角定理得出∠AFM＝90°，通过解直角三角形求得AM＝10，得出AD＝8，进而求得AC＝

，即可求得FC＝

﹣6＝

．

【解答】（1）证明：连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠DCA＝90°， ∵EC＝EF， ∴∠DCA＝∠EFC， ∵OA＝OF， ∴∠CAD＝∠OFA， ∴∠EFC+∠OFA＝90°， ∴∠EFO＝90°， ∴EF⊥OF， ∵OF是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）连接MF， ∵AM是直径， ∴∠AFM＝90°，

在Rt△AFM中，cos∠CAD＝∵AF＝6， ∴

＝，

＝，

∴AM＝10， ∵MD＝2，

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∴AD＝8，

在Rt△ADC中，cos∠CAD＝∴

＝，

， ﹣6＝

＝，

∴AC＝∴FC＝

【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理的应用以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 11．（2019?日照）探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝

＝2，kAC＝

＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y

＝kx+b（k≠0）上任意两点坐

标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝

是定值．通过多次验证和查阅资料得知，

猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ 探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积． 综合应用

如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．

．

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