（优辅资源）四川省名校联考高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

优质文档

周销售量 频数 2 20 3 50 4 30 （1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布表．

【分析】（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率．

（2）ξ表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量ξ的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望．

3吨和4吨的频率分别为【解答】解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，

=0.5和

=0.3．

=0.2，

（2）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P（ξ=8）=0.22=0.04， P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P（ξ=16）=0.32=0.09． ∴ξ的分布列为 ξ P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09 ∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）

19．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．

（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC； （Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

优质文档

优质文档

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定． 【分析】几何法：

（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．

（Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小． 向量法：

（Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．

（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．

【解答】（本小题满分12分） 几何法：

（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC， 又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC， ∴BC⊥平面EAC，…

∵BC?平面EAC，∴BC⊥AM，

又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．… （Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM， ∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM， ∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，…

∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB， 在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE?AB=EB?AH， 设EA=AC=BC=2a，得，AB=2

a，EB=2

a，∴

=

，

优质文档

优质文档

∴sin=，∴∠AHM=60°．

∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．… 向量法：

（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC， ∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，… ∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴， 分别以直线AC和AE为y轴和z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2）， M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），… =（0，1，1），∴

=（0，2，﹣2），

，∴AM⊥EC，AM⊥BC，

，

又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．… （2）设平面EAB的法向量为∴又∵∴cos＜

＞=

，则

，

，取y=﹣1，则x=1，则=（1，﹣1，0），…

为平面EBC的一个法向量，

=﹣，

＞|=，∴θ=60°，

设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…

优质文档

优质文档

20．已知：向量

=（

0）O为坐标原点，，，动点M满足：|

+

|+|

﹣

|=4．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）已知直线l1，l2都过点B（0，1），且l1⊥l2，l1，l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由． 【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（1）由：|以点（

+

|+|

﹣

|=4，

=（

，0），知动点M的轨迹是

，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；

（2）设直线方程，求出D，E的坐标，利用△BDE是等腰直角三角形，可得

|BD|=|BE|，即=，从而可得结论．

【解答】解：（1）由：|知动点M的轨迹是以点（∴c=

，a=2，

+|+|﹣|=4， =（，0），

，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，

∴b=1， ∴所求的方程为

=1．

（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0， ∴x1=0，x2=﹣

=xD，

∵l1⊥l2，∴以﹣代k，得xE=∵△BDE是等腰直角三角形， ∴|BD|=|BE|，

优质文档