高中数学竞赛专题讲座 - 解析几何

径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

x2?22=1+r。所以x=±r2?2r?3, ∴tan∠

MAN=

kAN?kAM1?kAN?kAMo?ro?h??x?r?hx?r?h

o?ho?h1??x?r?hx?r?k?2rh2rh2rh， ??2222222222(x?k)?r?h(?r?2r?3)?r?hh?k?3?2r?2kr?2r?3令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=

1，所以m+r?kr2?2r?3=nhr， n∴m+(1-nh)r=?kr2?2r?3，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，

?m2??3k2(1)??因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以?2m(1?nh)?2k2(2)，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得

?22(1?nh)?k(3)??n=

11.由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan∠MAN==h=±3。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1hn时∠MAN=60°），故∠MAN=60°.

2．（2006吉林预赛）已知抛物线C：x2=2py(p>0)，O是坐标原点，M(0，b)(b>0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、

B两点，设S△ABC =mtan∠AOB，求m的最小值。（ －0.5p2 ）

3．（2006年南昌市）(高二)给定圆P:x?y?2x及抛物线S:y?4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交

点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.

2解:圆P的方程为?x?1??y?1,则其直径长BC?2,圆心为P?1,0?,设l的方程为ky?x?1,即x?ky?1,代入

2222抛物线方程得:y?4ky?4,设A?x1,y1?, D?x2,y2?

2

有??y1?y2?4k,则(y1?y2)2?(y1?y2)2?4y1y2

?y1y2??422222y12?y2) 故|AD|?(y1?y2)?(x1?x2)?(y1?y2)?(4yA?(y1?y2)2[1?(y1?y22)]?16(k2?1)2,因此|AD|?4(k2?1) 4oCDBP据等差,2BC?AB?CD?AD?BCx,

所以AD?3BC?6即4(k2?1)?6,k??22,

则l方程为x?22y?1或x??y?1. 2224．（2006年上海）已知抛物线y?2px(p?0)，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为?(0????)的直线交抛物线

于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B?，连接BO，交准线于点A?，求四边形ABB?A?的面积． 解:当??当???2时，SABB?A??2p2． …………………（4分）

?2时，令k?tan?．设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由 yA/Apy?k(x?)，① y2?2px， ②

22p2y?p2?0，所以 消去x得，y?k2p y1?y2?， y1y2??p2． ③

k又直线AO的方程为：y?OB/y12p即为y? x，x，x1y1FBx所以，AO与准线的交点的坐标为

pp2B?(?,?)，

2y1

p2而由③知，y2??，所以B和B?的纵坐标相等，从而BB??x轴．同理AA??x轴，故四边形ABB?A?是直角梯

y1形．………………（9分） 所以，它的面积为SABB?A??11(AA??BB?)?A?B??AB?A?B? 22?1(x2?x1)2?(y2?y1)2?y2?y1 21111?(y2?y1)21?2?1?2?(y1?y2)2?4y1y2??? 2k2k31??22?2p?1?2??2p(1?cot?)2．………………（14分）

?k?2325． (2005年浙江)（20分）设双曲线x?y?1的左、右焦点分别为F1，F2，若?PF1F2的顶点P在第一象限的双曲线

上移动, 求?PF1F2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边PF2上的切点轨迹。 【解】 如图，记双曲线在x轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为?PF1F2的内切圆 在边F1F2上的切点，H为?PF1F2的内切圆在边PF2上的切点，K为?PF1F2的内切圆 在边PF1上的切点。则有

22GF1?GF2?KF1?HF2?(KF1?KP)?(HF2?HP)?PF1?PF2----5分

由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。 而F2G?F2A?2?1。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，

所以?PF1F2的内切圆在边PF2上的切点的轨迹是以F2(2, 0)为圆心，

2?1为半径的圆弧。------- 10分

因为P(x, y)是在x?y?1第一象限的曲线上移动，当PF2沿双曲线趋于无穷时，与x轴正向的交角?的正切的

22

极限是limtan??limx???x2?1x?2x????1

?x?2?(2?1)cos??即 ??。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式)? ，（????）-- 15分

44y?(2?1)sin???也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为

x?1 （0?y?1）。 -------------------------------- 20分

222226．（2006浙江省）在x轴同侧的两个圆：动圆C1和圆4ax?4ay?4abx?2ay?b?0 外切（a,b?N,a?0），

且动圆C1与x轴相切，求 （1）动圆C1的圆心轨迹方程L;

（2）若直线4(7?1)abx?4ay?b2?a2?6958a?0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之值。

解：（1）由4a2x2?4a2y2?4abx?2ay?b2?0可得(x?b211)?(y?)2?()2, 2a4a4a由a,b?N，以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，设动圆圆心坐标为(x,y),

则有(x?b211)?(y?)2?y?, 2a4a4a2bb2).……（5分） 整理得到动圆圆心轨迹方程y?ax?bx? (x?2a4a另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以(的抛物线，得轨迹方程

b11b,)为焦点，y??,0)点（不包含该点）为准线，且顶点在(2a4a4a2ab21b2b2(x?)?y，即y?ax?bx?(x?)…………………（5分）

2aa4a2ab2b(x?) ① （2）联立方程组y?ax?bx?4a2a2