高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题

高中数学选修2-2第二章单元测试题

《推理与证明》

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

－226537110

1．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋

2－46－45－43－47－41－410－4－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )

8－nn

A.＋＝2 n－4?8－n?－4n＋1?n＋1?＋5B.＋＝2 ?n＋1?－4?n＋1?－4n＋4n

C.＋＝2 n－4?n＋4?－4n＋1n＋5D.＋＝2 ?n＋1?－4?n＋5?－4

2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y＝cos x(x∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y＝cos x(x∈R)是周期函数． A．①②③ C．②③①

B．②①③ D．③②①

3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )

A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点

4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c. 则正确的结论有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )

A．2k＋1 2k＋1C. k＋1

B．2(2k＋1) 2k＋3D. k＋1

1427a

7．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋2≥3，x＋3≥4，…，可推广为x＋n≥n

xxxx＋1，则a的值为( )

A．2n C．22(n

－1)

B．n2 D．nn

8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2

B．8n－2 D．8n＋2

9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )

A．28 C．123

B．76 D．199

11

10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于( )

2an1

A. 2

B.－1 D．3

C．2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

1

11．设函数f(x)＝x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝

2＋2f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

12．已知 ＝6

22＋＝2 32， 333＋＝3 83， 844＋＝4

154，…，若 15a6＋b

a(a，b均为实数)，请推测a＝________，b＝________. b

1

13．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)

n

＋…＋f(xn)]≤f ?

x1＋x2＋…＋xn?

n??，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)

上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．

14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……

则第________行的各数之和等于2 0152.

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： 3

①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；

43

②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.

4

由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

16．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相111

等，假设，，成等差数列．

abc

(1)比较

b与 a

c的大小，并证明你的结论； b

(2)求证：角B不可能是钝角．

17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． π1＋tan xx＋?＝(1)求证：tan ??4?1－tan x.

1＋f?x?

(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结

1－f?x?论．

11

an＋?. 18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝?an?2?(1)求a1，a2，a3；

(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．