全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)

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同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：01sin2α＋cos2α＝1. πsinα??02?α≠2＋kπ，k∈Z?. (2)商数关系：＝tanα

cosα??2.三角函数的诱导公式

□□

1.概念辨析

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(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.( ) sinα

(2)若α∈R，则tanα＝cosα恒成立．( ) (3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.( )

(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.小题热身

5π

(1)若sinα＝5，2<α<π，则tanα＝________. 1

答案 －2 5π

解析 因为sinα＝5，2<α<π， 所以cosα＝－

1－sinα＝－

2

25?5?2

??1－＝－5， ?5?

sinα1

所以tanα＝cosα＝－2. cos2α－1

(2)化简：sinαtanα＝________. 答案 －cosα

－sin2α

解析 原式＝

sinα＝－cosα. sinα·cosα

?52π?(3)sin2490°＝________；cos?－3?＝________.

??11

答案 －2 －2 1

解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－2. π?π??52π???

cos?－3?＝cos?16π＋π＋3?＝cos?π＋3? ??????π1＝－cos3＝－2. π??π?3?

(4)已知sin?2＋α?＝5，α∈?0，2?，则sin(π＋α)＝________.

????4

答案 －5 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

π?3?π??

解析 因为sin?2＋α?＝cosα＝5，α∈?0，2?，所以sinα＝

????4

以sin(π＋α)＝－sinα＝－5. 4

1－cos2α＝5，所

题型 一 同角三角函数关系式的应用

1π1

1.已知cosα＝5，－2<α<0，则tanα＝( ) 66

A.26 B．－26 C．－12 D.12 答案 C

1π

解析 因为cosα＝5，－2<α<0， 所以sinα＝－

26

1－cos2α＝－5，

151cosα6

所以tanα＝sinα＝＝－12.

26－5

sinx＋3cosx

2.已知tanx＝3，则＝________.

2sinx－3cosx答案 2

解析 因为tanx＝3， 所以

sinx＋3cosx2sinx－3cosx

＝tanx＋32tanx－3

＝3＋32×3－3

＝2.

3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________. 答案 44.5

解析 因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，

设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，

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两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.

同角三角函数关系式的应用方法

sinα

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用cosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.

cosA12

1.已知△ABC中，sinA＝－5，则cosA等于( ) 125512A.13 B.13 C．－13 D．－13 答案 D

cosA12

解析 因为A是三角形内角，且sinA＝－5<0， 所以cosA<0且5cosA＝－12sinA， 则25cos2A＝144sin2A＝144(1－cos2A) 14412

解得cos2A＝169，所以cosA＝－13. 2.若α是第二象限角，则tanαA.－1 C.－tan2α 答案 A

解析 因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0， 所以tanα

1sinα?cosα?sinαcosα

?sinα?＝－·2－1＝sinαcosα?cosα·sinα＝－1. ?

1

sin2α－1化简的结果是( )

B．1 D．tan2α

3.(优质试题·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为( )