镇江市2010年中考数学试卷解析[1]

22．（2010江苏镇江，22，6分）运算求解

在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，

B两点.

（1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积. l

y B O A x 【分析】（1）知道直线经过两点，可设出解析式为y＝kx＋b，用代定系数法求函数关系式．（2）求出A，B两点的坐标为（4，0）和（0，4），便可知OA＝OB＝4的长，代入三角形面积公式就可以求出△AOB的面积. 【答案】（1）设直线l的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）， ①

?3k?b?1,把（3，1），（1，3）代入①得?

k?b?3,?解方程组得??k??1,?b?4.

∴直线l的函数关系式为y＝－x＋4 ②

（2）在②中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)

∴S△AOB＝

1212AO·BO＝×4×4＝8

【涉及知识点】直线的函数关系式、待定系数法、三角形的面积

【点评】用待定系数法求函数关系式是常见题型，是今年做综合题的基础，结合直角坐标系求图形的面积也是考题中常见的，还有些时候已知面积求直线的解析式，这类题可能有两种或多种情况．

【推荐指数】★★★ 23．（2010江苏镇江，23，6分）

已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象C1与x轴有且只有一个公共点. （1）求C1的顶点坐标；

（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

（3）若P(n，y1)，Q(2，y2)是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围.

【分析】（1）C1与x轴有且只有一个公共点，说明顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为0，把关系式配方成顶点式即可求出m的值，也就可以求出顶点的坐标．

（2）设C2的函数关系式为y＝(x＋1)2＋k，把A（—3，0）代入上式得(－3＋1)2＋k＝0 ，可求得k.

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【答案】（1）y＝x＋2x＋m＝(x＋1)＋m－1，对称轴为x＝－1

?与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.

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∴C1的顶点坐标为（—1，0）

（2）设C2的函数关系式为y＝(x＋1)2＋k

把A（—3，0）代入上式得(－3＋1)＋k＝0 得k＝－4 ∴C2的函数关系式为y＝(x＋1)2－4

∵抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为A（—3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. （3）当x≥－1时，y随x的增大而增大，

当n≥－1时，∵y1＞y2，∴n＞2 .

当n＜－1时，P(n，y1)的对称点的坐标为（－2－n，y1），且－2－n≥－1， ∵y1＞y2

∴－2－n＞2

∴n＜－4．

综上所述：n＞2或n＜－4

【涉及知识点】二次函数

【点评】求二次函数的解析式要根据题意，合理的设出关系式很重要，一般有三种设法：一般式，顶点式，两根式（或交点式）．另外函数的增减性主要与开口方向及对称轴的两侧有关． 【推荐指数】★

24．（2010江苏镇江，24，6分）有200名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门的招聘，

到各部门报名的人数百分比见图表1，该企业各部门的录取率见图表2.（部门录取率＝

部门录取人数部门报名人数2

×100%）

（1）到乙部门报名的人数有 人，乙部门的录取人数是 人，该企业的录取率为 ； ．．．

（2）如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的

情况下，该企业的录取率将恰好增加15%，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？

甲 35% 丙 25% 乙部门 甲 乙 丙 录取率 20% 50% 80% 图表2

图表1 【分析】（1）由图表1，200（1-35%-25%）＝80，80×50%＝40， 35%×20%+60%×50%+25%×80%＝47% （2）只要设有x人从甲部门改到丙部门报名，根据题意可列出方程: (70－x)×20%＋40＋（50＋x）×80%＝200（47%＋15%），可以求解出x．

【答案】（1）80， 40， 47%；

（2）设有x人从甲部门改到丙部门报名，（4分）

则：(70－x)×20%＋40＋（50＋x）×80%＝200（47%＋15%）

化简得：0.6x＝30，

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x＝50

答：有50人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加15%的录取率. 【涉及知识点】统计图表，一元一次方程 【点评】扇形统计图是以200人为基数，而统计表中的是以每个部门的报名人数为基数，计算是应避免混为一堂．

【推荐指数】★★★★ 25．（2010江苏镇江，25，6分）描述证明

海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

a，b表示两个正数，并分别作为分子、分母，得到两个分式，如果这两个分式的和比这两个正数的积小2，那么这两个正数的和等于这两个正数的积． 现象描述 已知a＞0，b＞0， 如果 ， 那么 ．

（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象； （2）请你证明海宝发现的这个有趣现象.

【分析】（1）把文字叙述改写在数学符号语言，即如果

2

2

2

ab?ba?2?ab;那么a+b＝ab.(2)

对条件中的式子两边同乘以ab可得a＋b＋2ab＝(ab)，再对这个式子变形就能得到本题的结论．

【答案】 （1）

abab+ba+2=ab，a+b＝ab

（2）证明：??ba?2?ab,?a?b?2abab22?ab,

∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2， ∴(a＋b)2＝(ab)2，

∵a＞0，b＞0，a＋b＞0，ab＞0， ∴两边开方得：a＋b＝ab

【涉及知识点】分式，代数恒等式，完全平方，算术平方根

【点评】这是一道式子的变形题，对学生观察式子的特点要求较高，然后两边平方时还应注意a，b，a+b三个代数式的取值范围，这类题体了初高中的衔接． 【推荐指数】★★★ 26．（2010江苏镇江，26，7分）推理证明

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如图，已知△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD＝3，∠ACB＝30°. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）分别求AB，OE的长；

（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，

则r的取值范围为 .

C

D E A

O B

【分析】（1）AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°， 又AB＝BC，由三线合一可知D

是AC的中点，又O是AB的中点，由中位线定理可得OD∥BC，因为DE⊥BC，所以OD⊥DE，所以DE是⊙O的切线.（2）在Rt△CBD中，已知CD＝3，∠ACB＝30°，可求

3272出BC＝2，DE=.，所以AB＝2，OD＝1，再在Rt△ODE中利用勾股定理求OE＝

1+(232)＝2.(3) ⊙O的半径为是，所以只要以E为圆心的圆与⊙O相交，这两个

交点到点O的距离为1，这样就保证了存在不同的两点到点O的距离为1.所以r+1＞OE，r-1＜OE，解得

72?1?r?72?1.

【答案】（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°

又∵AB＝BC，∴AD＝CD 又∵AO＝BO，∴OD//BC

∵DE⊥BC

∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.

（2）在Rt△CBD中，CD＝3，∠ACB＝30°，

CDcos30??BC??332?2,?AB?2.

在Rt△CDE中，CD＝3，∠ACB＝30°

12∴DE＝

CD=32.

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