2016-2017学年广东省广州市越秀区八年级(下)期末数学试卷

【分析】（1）先证明四边形MNCB为正方形，再利用折叠得：CA=1，AB=AD，所以CD=AD﹣AC，可得结论；

（2）根据平行线的性质得折叠得：∠BAQ=∠BQA，由等角对等边得：AB=BQ，由一组对边平行且相等可得：四边形ABQD是平行四边形，再由AB=AD，可得四边形ABQD是菱形．

【解答】解：（1）∵∠M=∠N=∠MBC=90°， ∴四边形MNCB是矩形， ∵MB=MN=2，

∴矩形MNCB是正方形， ∴NC=CB=2，

由折叠得：AN=AC=NC=1， Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=∴AD=AB=

，

﹣1；

=

，

∴CD=AD﹣AC=

（2）四边形ABQD是菱形，理由是： 由折叠得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD， ∵BQ∥AD， ∴∠BQA=∠QAD， ∴∠BAQ=∠BQA， ∴AB=BQ，

∴BQ=AD，BQ∥AD，

第21页（共24页）

∴四边形ABQD是平行四边形， ∵AB=AD，

∴四边形ABQD是菱形．

【点评】本题是四边形的综合题，难度适中，考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定和性质以及折叠的性质，并利用数形结合的思想解决问题．

25．（10分）如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2． （1）求证：BP⊥DE．

（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．

【分析】（1）如图1中，延长BP交DE于M．只要证明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延长即可解决问题；

（2）根据S1﹣S2=S△PBF﹣S△PDE计算即可解决问题；

（3）分两种情形分别求出PC的长，利用（2）中结论计算即可； 【解答】解：（1）如图1中，延长BP交DE于M．

∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

第22页（共24页）

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE， ∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM， ∴∠CDE+∠DPM=90°， ∴∠DMP=90°， ∴BP⊥DE．

（2）由题意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣（4﹣x）2]﹣?（4﹣x）?x=8﹣2x（0＜x＜4）．

（3）①如图2中，当∠PBF=30°时，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°， ∴∠PFD=∠DPF=45°， ∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°， ∴△BAF≌△BCP， ∴∠ABF=∠CBP=30°， ∴x=PC=BC?tan30°=∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣

， ．

②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．

第23页（共24页）

由①可知△ABF≌△BCP， ∴∠ABF=∠CBP， ∵∠PBF=45°， ∴∠CBP=22.5°，

∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°， ∴∠NBP=∠NPB=22.5°， ∴BN=PN=∴

x，

x+x=4，

﹣4，

．

∴x=4

∴S1﹣S2=8﹣2x=16﹣8

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

第24页（共24页）