2013年高考数学试卷分析[1]

a?1.答案：B 2【试题评价】试题面向全体考生，侧重知识和方法的应用，有效检测考生对线性规划问题的理解和应用。

（10）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c下列结论中错误的是

（A）?x0?R,f(x0)?0

（B）函数y?f(x)的图像是中心对称图形

（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0

【考查目标】本题考查导数在研究函数中的应用，考查了函数思想和转化思想及数形结合思想。，

【解题思路】由题意知，导函数f?(x)?3x2?2ax?b的图象开口向上，若x0是f(x)的极小值点，则x0是方程f?(x)?3x2?2ax?b=0的较大根，所以选项C错误，故选C。 【试题评价】试题考查函数与导数的关系，利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重点知识。

（11）设抛物线C：y?2px(p?0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

（A）y?4x或y?8x （B）y?2x或y?8x （C）y?4x或y?16x （D）y?2x或y?16x

【考查目标】本题考查抛物线的概念、标准方程和几何性质及圆的基础知识，考查数形结合、方程、化归等数学思想，考查考生分析问题和解决问题的能力。

【解题思路】解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0?则x0＝5-222222222p?5，2p. 2p,0)，所以以MF为直径的圆的方程为 2又点F的坐标为(p(x?x0)(x?)?(y－y0)y?0.

2y02－4y0+8=0，所以y0?4 将x=0，y=2代入得px0+8-4y0?0，即2p??2由y0＝2px0，得16?2p?5??，解之得p＝2，或p＝8.

2??22所以C的方程为y＝4x或y＝16x.故选C.

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【试题评价】试题重点考查抛物线的基本知识和圆的相关性质，注重通性通法，淡化了解题技巧，有利于促进中学数学教学。

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y?ax?b(a?0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

（A）(0,1) (B)（1?11212，） ( C)（1? 错误！未找到引用源。，） (D)[ , 233221） 2【考查目标】本题主要考查直线方程的基础知识及数形结合、分类讨论等数学思想，考查考生分析问题和解决问题的能力。

【解题思路】分成三种情况讨论（图略）：

A（?1,0）①、当y?ax?b过点 且与直线lBC:x?y?1相交于点D时，因为?ABD的

面积为?ABC面积的一半，所以点D到AB的距离为OC的一半，故D坐标 (,)，又

1122??a?b?0111?A(?1,0)、D(,)都在y?ax?b上，所以由 ?11 解得 b?；

223a?b???22 ②、当y?ax?b和x轴交点M在A(?1,0)与O(0,0)点之间时，不妨设为M(x0,0)，

则

x0??ba；又y?ax?b与直线lBC:x?y?1相交于点D(x1,y1)，由

1?b?x??11?y1?ax1?b?11?aS?(1?x)y??S?1 ， 又，则 ???ABC01?ABCx?y?1a?b22?11?y?1?1?a?1b2得(a?b)?a(1?a)即a?，因为a?0,1?2b?0,故b?

21?2b21③、当y?ax?b和x轴交点在A点左侧时，由①知b不能超过

3；但也不能等于0。

当a趋于0时， 直线y?ax?b近似平行于x轴 。不妨设a?0，则直线为y?b且与线段CA,CB分别相交于M,D两点，根据直角三角形ABC的边长AC=2， BC=2，AB=2,及?MCD面积为

12，可得CM=CD=1，则MD=2,所以?MCD的ND边上的髙为，226

则b?1?222 ，因为a?0所以b?1?。 综上可知，b的取值范围为：1?﹤b﹤

22212，故选B。

【试题评价】试题根据直线在坐标系中的不同位置及直线的基本知识，结合图形，采用分类讨论方法确定截距的取值范围，为考生灵活运用数学知识、思想方法解决实际问题提供了广泛空间。 二、填空题

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD?______. 【考查目标】本题考查向量的概念、几何意义、模和向量夹角的概念，考查平面向量的加减运算、数量数量积运算的求法，考查考生的运算求解能力。

【解题思路】由条件知|DE|?1,|AD|?2,|BD|?22, 由,AE?BD?(AD?DE)?BD?|AD||BD|cos450?|DE||BD|cos1350?2

【试题评价】试题注重知识的理解和综合运用，有利于推进中学数学教学。

（14）从n个正整数1，2，?，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则n=________. 141。14【考查目标】本题是古典概型公式的运用，考查考生分析问题及运算能力。 【解题思路】由取出的两数之和为5可知，这两数为1与4或2与3两组，而概率为

2所以，从n个正整数1，2，?，n中任意取出两个不同的数共有28组不同的结果。由Cn?28得出n?8，故填8。 【试题评价】试题根据古典概型的概率求出基本事件的个数，再运用组合数公式进行运算求解。

（15）设?为第二象限角，若tan(???4)?1，则sin??cos?=_________. 2【考查目标】本题考查三角函数基本公式的简单的恒等变换及数学的化归思想。考查考生的运算求值能力。

【解题思路】由tan(??又由cos2???4)?111?tan??2 得tan??? 得

321?tan?1，得，因为?为第二象限角，

1?tan2?所以cos???10310010，所以sin??，即sin??cos???。故填?。

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【试题评价】试题根据两角和的正切公式求出?的正切值。利用转化思想将弦化切得出结论，考查了数学的化归思想及考生的运算能力。

（16）

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________． 答案：－49

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋S15＝15a1?10?9d＝10a1＋45d＝0，① 215?14d＝15a1＋105d＝25.② 22联立①②，得a1＝－3，d?，

3n(n?1)21210??n?n. 所以Sn＝?3n?23331310220n，f'(n)?n2?n. 令f(n)＝nSn，则f(n)?n?33320令f′(n)＝0，得n＝0或n?.

3202020当n?时，f′(n)＞0,0

333∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.

【试题评价】试题注重对基础知识和运算能力的考查，有利于中学数学教学。

三．解答题

（17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a?bcosC?csinB。。 （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b?2，求△ABC面积的最大值。

【考查目标】本题考查考生对正弦定理、余弦定理、三角恒等变形、三角形内角和定理及三角形面积公式的综合应用能力及运算求解能力。

【解题思路】(Ⅰ)由已知和正弦定理得sinA?sinBcosC?sinBsinC ? ①

又A???(B?C)故sinA?sin?B?C??sinBcosC?cosBsinC ? ② 由①,②及C?(0,?)的 sinB?cosB ，又B?(0,?)∴B??4。

(Ⅱ) ?ABC的面积S?12acsinB?ac由已知及余弦定理 2422得 4?a2?c2?2accos?4 ，又a?c?2ac，故 ac?4，当且仅

2?2当a?c时，等号成立，因此?ABC面积的最大值为2?1。

【试题评价】试题面向全体考生，考生容易入手，在第(Ⅰ)问中，考生运用正弦定理把题干中的边角方程关系转化为关于角的三角函数方程，这是问题解决的关键。在第(Ⅱ)问中，考生运用余弦定理获得关于b,c的两个方程，这是问题解决的基本思路。 （18）如图，直棱柱ABC?A1B1C1中，D，E别是

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