2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例3 空间中的平行与垂直关系学案

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规范答题示例3 空间中的平行与垂直关系

典例3 (15分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，

PC，BC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAH⊥平面DEF.

设法利用考虑平行关系

审题路线图 (1)条件中各线段的中点中位线定理――――→取PD的中点M―――――→ 长度关系线面平行平行四边形AEFM―→AM∥EF的判定定理――――→EF∥平面PAD

面面垂直的正方形ABCD中(2)平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD―――――→PA⊥平面ABCD―→PA⊥DE―――――――→DE⊥AH性质定理E，H为AB，BC中点线面垂直面面垂直的―――――→DE⊥平面PAH――――→平面PAH⊥平面DEF 的判定定理判定定理

规 范 解 答·分 步 得 分 证明 (1)取PD的中点M，连接FM，AM. ∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点， 1∴FM∥CD且FM＝CD. 2构 建 答 题 模 板 第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直． 第二步 1∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD， 2∴AE∥FM且AE＝FM， ∴四边形AEFM为平行四边形， ∴AM∥EF，4分 ∵EF?平面PAD，AM?平面PAD， ∴EF∥平面PAD.6分 (2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD， 侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA?平面PAD， 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行． 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行． 第四步 写步骤：严格按照定理中的条 精品 ∴PA⊥底面ABCD，8分 ∵DE?底面ABCD，∴DE⊥PA. ∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点， ∴Rt△ABH≌Rt△DAE， 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°， ∴DE⊥AH，11分 ∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH＝A， ∴DE⊥平面PAH， ∵DE?平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.15分 件规范书写解题步骤. 评分细则 (1)第(1)问证出AE∥FM且AE＝FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；

(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．

跟踪演练3 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

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(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．

3(1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD， 所以AB⊥平面ACD.

又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32. 2

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝22.

3如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，

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则QE∥DC且QE＝DC.

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由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为

VQ－ABP＝×S△ABP×QE

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＝××3×22sin 45°×1＝1. 32

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