2019届江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）高三下学期期初调研检测数学（理）试题

江苏省海门中学

2019 年期初数学学科调研测试试卷 数学 II（附加题）参考答案

21．【选做题】

21．A．解析：（1） f (?) ???? 1 ? 1 ?m ?

=(?+1)?? m

因为 ? 2 是一个特征值，所以 f (?2) ? 0

所以 m ? 2 ．

……………………………5 分

（2）由（1）得： A ? ????1 1??? 2 0??

??所以 det( A) ?? ?1 1

2 0 ? ?2 ? 0

?0 1 ?? ? 1 ??

所以逆矩阵 A?1 ??????? ?2 ?2 ? ??0 2 ???………………10 分

???? ? ?? ? ? 2 ?1 ?? ??2 ?2 ??? ??1 ? 1 ???2 ???

B．解：由 ?? 2 cos?得： ?2

? 2?cos?

?

∴ x2

? y 2

? 2x ? 0 ，即 ( x ?1)2

? y 2

? 1 ………………3 分

∴ C (1, 0) 设点 P(cos?, 2 ? 2 cos?) ，

∴| PC |??(cos??1) 2 ? (2 ? 2 cos?) 2 ??5 cos2 ?? 6 cos?? 5 ∴当 cos? ? 1 时， PC 有最大值 4.

………………10 分

x3＋1＋1 ≥ 3 3

x3×1×1 ＝ 3x，

C．证明：因为 x＞0，所以 x3＋2 ＝当且仅当 x3＝1，即 x＝1 时取“＝”． …………… 4 分

因为 y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以 y2＋1≥2y，

当且仅当 y＝1 时取“＝”． …………… 8 分

所以 (x3

＋2)＋(y2

＋1)≥3x＋2y，

即 x3＋y2＋3≥3x＋2y，当且仅当 x＝y＝1 时，取“＝”．

…………… 10 分

数学Ⅱ（附加题）第 3页 （共

4 页） 【必做题】

22．解：（1）∵直线 l 的方程为 y ? 1

3x

? 1

令 x

? 0 ，则 y ? 1，即 Q(0,1) ∴ p 2 ? 1

得： p ? 2

∴抛物线 C 的标准方程为 x2

? 4 y …………………………… 4 分

（2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由 PA ? ?QA, PB ? ?QB (?, ?? R )

得： ?? x1

m ? ?x

? 1 ?

x2 ? m ? ?x2

??? ?x 1 ? m 所以 ????? ?

?x1 ?2 ??m???? x ?

x2 所以?? ?? x1 ? m x2 ? m 2x1 x2 ? m (x1 ? x2 ) x? ?

1 x2 x1 x2

由题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB : y ? k ( x ? m) ? x 2

??

? 2 py( p ? 0)

k (x ? m)得： x2 ? 2 pkx ? 2 pkm ? 0 ? y ?

所以 ??? ? 0 ? ? x 1 ? x 2 ? 2

pk ?? x1x 2 ? 2 pkm

故?? ?? 2 x1x 2 ? m( x1 ? x2 ) 4 pkm ??2 pkm

x? ? 11 x2 2 pkm

即?? ?为定值为 1.

…………………………… 10 分

23．解：（1） a1 ? 3? 4 ? 12, a2 ? 3 ；

…………………………… 2 分

（2）

C0

(22019?n ?1) ? C1 ?n ? ... ? Ck

?n ? ... ? C2018?n 1 2019?n ① an 2019?n 2019?n ? 220182019?n 22019?k ?2019?n ? 2? C2019?n ? 20 n ? C

2019

2

? C

n 32019 ? n ? 1

2019

2

…………………………… 6 分

数学Ⅱ（附加题）第 4页 （共

4 页） 2018? n 3=??1 n ?1

C 2019 (2019 ? n)(32018? n ?1) an ?1 ?2 ② ??? ? 1， 2019 ? n 2019 ? n

a 3?1 (n ? 1)(3?1) n n C 2019

2

化简，得 (1008 ? 2n) ? 32018? n ? 1009 ? n ， 当 n ? 503 ，成立；

当 504 ? n ? 1008 时，不成立； 当 n ? 1009 时，不成立；

即 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a503 ? a504 ．

a504 ? a505 ? a506 ? ... ? a2018

当 n≤503，成立；当 504≤n≤1008 时，不成立；

当 n≥1009 时，不成立；即 a1＜a2＜a3＜…＜a503＜a504＞a505＞…＞a2018，

504 3 ? a ? C 即 (a )n max 504 2019

1515

?1

． 2

…………………………… 10 分

4 页） 数学Ⅱ（附加题）第 5页 （共