2019届江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）高三下学期期初调研检测数学（理）试题

2019届江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）高三下学期期初调研检测数学学科调

研测试试卷

数学 I

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20

题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式： 1．锥体的体积公式为：V＝1Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；

3 2．一组数据 xn

－ － 1，x2，…，xn 的方差为： s2 ＝1 ∑ (xi－ x )2，其中 x 是数据 x1，x2，…，xn 的

i＝1平均数．

n

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．

．

1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则 A∩B＝ ▲ ．

2．已知复数 z 满足(1－i)z＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z＝ ▲ ．

3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .

4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．

Read x

If x≤0 Then

y← ex

Else

y← x2＋1

数学Ⅰ 第 1页 6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .

7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．

3

8．若将函数 y＝cosx－ 3sinx 的图象向左平移 m(m＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实

数 m 的最小值为

▲ ．

9. 函数

f(x)＝a·ex－e－

x 在 x＝0 处的切线与直线 y＝2x－3 平行，则不等式 f(x2－1)＋f(1－x)＜0 的解集为 ▲ ．

10. 首项为

7 的数列{an}满足：(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝0，则 a2019－a2018 的值为 ▲ ． 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝2，AD＝1， →AB · AC→ ＝

5，则 cos∠CAB＝ ▲ ．

(第 11 题)

13. 在平面直角坐标系 xOy 中， M，N 是两定点，点 P 是圆 O：x2＋y2＝1 上任意一点，满足：

PM＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．

二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

数学Ⅰ 第 2页

End If Print y

16．（本小题满分 14 分）

(第 4 题)

5．已知双曲线x－y2＝1(a＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为

2

如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A1C//平面 AB1M； （2）若平面 AB1M⊥平面 BB1C1C, 求证：AM⊥BC．

▲ ．

数学Ⅰ 第 3页（ 共 10 页） 数学Ⅰ 第 4页（ 共

10 页）

18．（本小题满分 16 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)，过左焦点 F(－ 3，0)

（第

16 题）

17.（本小题满分 14 分）

如图，l1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km，l2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P，建造开发区管委会，并开发 三角形区域 PAO 与 PBO．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO＋PA＝16)．设∠BAO＝θ．

（1）记 PA＝f(θ)，求 f(θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．

北 l2

东 ?B P? l?1 A? ??O （第 17 题）

数学Ⅰ 第 3页（ 共 10 页） 的直线 l 与椭

a2 b2

圆交于 A，B 两点．当直线 l⊥x 轴时，AB＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．

（第 18 题）

19．（本小题满分 16 分）

已知函数 f(x)＝lnx＋m（m∈R）的极大值为 1．

（1）求 m 的值； x （2）设函数 g(x)＝x＋1，当 x0＞1 时，试比较 f(x0)与 g(x0)的大小，并说明理由；

ex

（3）若 b≥ 2 ，证明：对于任意 k＜0，直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝f(x)有唯一公共点． e

20．（本小题满分 16 分）

已知 q 为常数，正．项．数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋(an－Sn)q＝1，n∈N*． （1）求证：数列{a（ 2）若 q ∈ n}为等比数列；

N t ∈ N 3at＋2－ 4at＋1

为数列 *，且存在 *，使得{an}中的项． ① 求 q 的值；

② 记 b ＝log anan＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得 br，bs，bk 成等比数＋1

列．

数学Ⅰ 第 4页（ 共

10 页） 2019 届期初数学学科调研测试试卷

数学 II（附加题）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它

位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤．

A．[选修 4?2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）

已知 m∈R，矩阵 A＝ －1 1 m 0的一个特征值为－2．

（1）求实数 m；

（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A－1．

B．[选修 4?4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E: {x＝cosθ， y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝

2cosθ，求线段 PC 长的最大值．

C．[选修 4?5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）

已知 x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．

数学Ⅱ（附加题）第 1页 （共 4 页） 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)，过点 P(m，0)(m≠0)的直线 l 与抛

物线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 Q，设 PA →＝ λ QA→

， PB→ ＝ μ Q→B (λ，μ∈R)．

（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y＝1x＋1，求抛物线 C 的标准方程；

3

（2）求证：λ＋μ为定值．

（第 22 题）

23．（本小题满分 10 分）

设集合 M＝{1，2，3，…，m}，集合 A，B 是 M 的两个不同子集，记|A∩B|表示集合 A∩B 的元 素个数．若|A∩B|＝n，其中 1≤n≤m－1，则称(A, B)是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A，B）与（B， A）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 an．

（1）当 m＝3 时，求 a1，a2；

（2）当 m＝2019 时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．

数学Ⅱ（附加题）第 2页 （共

4 页）