上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：

已知a,b??0,???，a?b?1，求y?1a?2b的最小值. 解法如下：y?12?12?ba?b???a?b???a?b??a?2ab?3?3?22， 当且仅当b2aa?b，即a?2?1,b?2?2时取到等号， 则y?1a?2b的最小值为3?22. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知a,b,c??0,???，a?b?c?1，求y?1a?1b?1c的最小值； （2）已知x????0,1?2??，求函数y?1x?81?2x的最小值；

（3）已知正数a1,a2,a3,L,an，a1?a2?a3?L?an?1，

a2222求证：S?1a?a2?a3?L?an?1.

1?a2a2?a3a3?a4an?a12解（1）y?1a?1b?1c???1?a?1b?1?c???a?b?c??3???bacacb??a?b?a?c?b?c??， 而ba?ab?ca?ac?cb?bc?6，当且仅当a?b?c?13时取到等号，则y?9， 即y?1a?1b?1c的最小值为9. （2）y?22x?81?2x???2?2x?8?1?2x????2x?1?2x??10?2?1?2x2x?8?2x1?2x， 而x???1??0,2??，2?1?2x2x?8?2x1?2x?216?8， 当且仅当2?1?2x2x2x?8?1?2x，即x?16???1??0,2??时取到等号，则y?18， 所以函数y?18x?1?2x的最小值为18. ）2S???a222（31a2an??a??L?????a1?a2???a2?a3??L??an?1?a2aa1???

2?a3an?a1??a2222??a2?a2?L?a21a2ana?12n????a??a12?a3??1?a2aa??a1?a2??L??a??a1?a2????an?a1??2?3an1a1?a2???a2221?a2?L?an???2a1a2?2a2a3?L?2ana1???a1?a2?L?a2n??1

当且仅当a11?a2?L?an时取到等号，则S?1n?2. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若

a1b1a?b，22则我们称椭圆Ex21与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E:2?y2?1，其左顶点为A、右顶点为B． （1）设椭圆E与椭圆F:x2s?y22?1是“相似椭圆”，求常数s的值； （2）设椭圆G:x22?y2???0???1?，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当?为何值时k1?k2取得最小值，并求其最小值；

（3）已知椭圆E与椭圆H:x2y22?t?1?t?2?是相似椭圆．椭圆H上异于A,B的任意一点C?x0,y0?，求证：?ABC的垂心M在椭圆E上．

解：（1）显然椭圆E的方程为x2?y22?1， 由椭圆E与F相似易得：

当s?2时，21s?2?s?4；

当0?s?2时，212?s?s?1．

则s?4或1； （2）易得A??2,0，D?0,1?，

?

可得l1,l2的方程分别为y?k1x??y?k1x??依题意联立：?x22??y???2??2?2，y?k2x?1，

?

22?1?2k1x2?42k1x?4k1?2??0，

4?2?又直线l1与椭圆G相切，则?1?0（又0???1），即32k1?41?2k1即k1??2??4k21?2??0，

?1?21???y?k2x?1?22?1?2kx?4k2x?2?2??0， 依题意再联立：?x222??y???222又直线l2与椭圆G相切，则?2?0（又0???1），即16k2?41?2k2?2?2???0，

，

????即k2?111??，故k1k2?，

2?2即k1?k2?2k1k2?所以当??2，当且仅当k1?k2时取到等号，此时??1， 21时，k1?k2取得最小值2． 2x2t2?y2?1，由?，可得t?4， （3）证明：显然椭圆E:221x2y2??1． 即有椭圆H:2422x0y0??1① 由椭圆H上的任意一点C?x0,y0?，于是24设?ABC的垂心M的坐标为?xM,yM?，

y0yM由CM?AB得xM?x0，又AM?BC????1，

xM?2x0?2y0yM2将xM?x0代入???1，得x0?2?y0yM②

xM?2x0?2由①②得y0?2yM．

又xM

x2?x0代入（1）得M?yM?1，即?ABC的垂心M在椭圆E上．

22