数学归纳法 说课稿

《数学归纳法及其应用》第一课时

说课稿

尊敬的各位评委、老师 大家早上好！

我是务川民族中学的数学教师赵美蓉，很高兴能有机会参加本次的说课比赛。

我要讲的课题是《数学归纳法及其应用》第一课时，用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（实验修订笨）数学第三册，本课是高中数学第三册第二章第一节。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标的确定、教学方法的选择、学法指导、教学过程及板书设计、教学评价等几个方面进行说明。

一、教材分析

数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一?有限?与?无限?的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法.与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。

重点是了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。难点是数学归纳法中递推思想的理解及应用,及数学归纳法证明命题的两个基本步骤。 二、学情分析

学生在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加上学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。但从总体上看，学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。 三、目标的确定 知识与技能：

理解数学归纳法中?特殊到一般?的原理及递推思想原理，会

1

利用数学归纳法证明简单的鱼正整数有关的命题。 过程与方法:

在轻松趣味的课堂环境中，通过对数学归纳法的学习、应用，让学生逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的数学思维方式。 情感、态度、价值观:

使学生懂得数学来源于生活，生活中处处是数学，感受数学内在美，激发学习热情及勇于探索的科学精神。 四、说教法

本节课我使用多媒体教学方式，主要采用 ?启发探究式?的教学方法。

首先创设趣味问题情境，激发学生对新知识的好奇心，引出本节课内容——归纳法；再通过有关于数学归纳法的数学历史故事，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围；第三步通过?多米诺骨牌?游戏的演示，让学生观察、自主探索并归纳出数学归纳法证明命题的两个步骤，培养学生由特殊到一般的数学思维方式和严格规范的数学论证意识。为巩固教学效果，老师通过板书示范，学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。 五、说学法

?问题是数学的心脏?，课前老师将预设一些问题让学生带着问题预习新课并给予学生特别是后进生适当指导，课堂上老师结合问题情境及?多米诺骨牌?游戏的展示，围绕?递推?这一中心，提出一连串的问题，引导学生积极思考，通过类比，从游戏中找到知识的生长点，进而抽象出数学归纳法，这样便突破了教学上的难点，同时安排一定的时间让学生进行课堂练习，布置适量的作业以进一步巩固所学知识并及时做好知识反馈，使学生亲历观察、分析、合情推理、认同和论证的思维过程，从而达到预设的教学目标。 六、说教学过程及板书 （一）新课引入（创设情境，启动思维）

首先从一个经典笑话及脑筋急转弯问题，引出一种重要的思想——类比思想，通过?摸球实验?引出数学中的递推思想，再结合等差数列通项公式的推导过程，总结出归纳法的定义、归纳法分类及其特点。

（二）新课探索（借助史料, 引申思辨）

2

再从重温费马数入手，进一步使学生体会到虽然通过归纳推理可以帮助人们发现问题和提出问题，但利用归纳推理得到的结论是不可靠的，其正确与否还必须经过严格的证明。然后直接指出，同样用归纳推理得到的等差数列的通项公式和自然数的前n项平方和公式都具有猜测的性质，它们都是与自然数有关的数学命题，而自然数有无限多个，我们又无法对所有的自然数逐一验证，那么如何判断命题的正确性呢？旧知识产生了新问题，以此激起学生强烈的求知欲，从而水到渠成地引入新课——数学归纳法。

（二）新课探讨（设置悬念，激发学生学习兴趣） 1、理论探讨及建构

那么什么是数学归纳法呢？带着这一问题，老师利用多媒体开始展示?多米诺骨牌?游戏，随后提出第两个问题：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

经过学生的思考讨论，可能会有多种答案，此时老师抓住其中较有代表性的几种答案展开分析，比如有的会说?推倒一张?。有的会说?如果推倒一张而后面的一张牌没有被推倒，那还有什么意义呢？? 有的会说?只要有一张牌被推倒，则该张牌后所有的牌都会被推倒。?对于第一种回答，它显然可以被第二种回答否定，第三种回答思维严密，它其实是在原有的条件下又附加了?事先有一张牌被推倒?这一个新的条件，因此，它揭示的是一个不争的事实，易于得到其他学生的认同，老师此时不失时机地予以充分肯定，并进一步提出第二个问题：?那么，要保证所有的牌被推倒，应该具备哪些条件呢？?

此时学生自然会结合第三种回答和前面的假设，经过思考和讨论得出所有牌被推倒必须具备两个条件：

条件1:第一张牌被推倒；

条件2 :若前一张牌被推倒，则后一张牌被推倒。

老师再问：?条件1和条件2各具有什么样的作用呢？?

学生经过思考讨论不难发现，条件1是前提，是基础，条件2是递推，两者结合起来就能保证所有牌被推倒。

?结合等差数列的通项公式，你能找到它与‘倒牌’游戏之间存在的相同相似点吗？如果能找到他们在某些方面的相同或相似，那么我们即可以利用前面学过的类比推理方法来找到等差数列公式成立必需具备的条件了。?鉴于学生的实际认知水平，老师适当予以点拨，学生在经过思考和讨论便会发现：

第一，第一张牌就是数列中的第一项； 第二，前后两张牌就是数列中相邻的两项；

3

第三，不同的牌，数列中就有不同的项。 在此基础上，老师提出第五个问题：?既然这两类事物之间存在以上的相同相似点，而我们又已经找到了成功?推倒牌?必须具备的两个条件，那么能不能利用类比推理的方法先建立两类事物相关?元素?之间的对应关系，再进一步得到等差数列通项公式对任意的自然数n都成立的条件？?

问题中指出学生解决问题的方法和努力的方向，有利于增强解决问题的信心，便于发挥学生的主观能动性，培养学生创造性地运用已学过的知识来解决新问题的能力。在老师的启发和引导下，学生经过思考、讨论，不难发现等差数列和?倒牌?游戏这两类事物的相关?元素?之间可以建立如下的对应关系：

1张牌----数列中相应的一项；

1张牌倒下----数列中相应的1个命题成立 根据这种对应关系，进一步得到等差数列公式恒成立必须具备的两个条件：

（1）n=1时，命题成立；

（2） 假设n=k时命题成立，则当n=k+1时命题也成立。 这就是数学归纳法，老师及时进行板书。这样，通过游戏展示---寻求?倒牌?条件----?倒牌?游戏与数列类比----联想类推---理论建构，层层深入，逐步推进，起到了一石二鸟的作用：一是学生通过自己的努力从具体问题中抽象出了数学归纳法，二是有?倒牌?游戏这一直观参照物，分解了数学归纳法教学上的难点。在抽象出数学归纳法的过程中，重视了学生的亲身体验，激励学生积极参与，鼓励学生大胆探索，创造性地抽象出新理论，有利于培养学生的抽象思维和创新能力。接着老师提出几个问题让学生思考，如数学归纳法的使用范围是什么？其本质是什么？两步中哪一步最能说明其本质等等，并给予学生一定的时间思考讨论，之后老师和学生加以小结：（1）数学归纳法主要用来证明与自然数有关的数学命题，其核心是递推思想，就是用有限的步骤替代无限的递推过程；（2）第一步是递推的基础，第二步是命题的正确性能否递推下去的保证，它体现的就是递推思想；（3）初始值不一定是n=1，要根据实际情况而定，如改成n= n0则更具一般性。 2、理论运用 （1）示范性运用

学以致用，学生回答老师板书一起用数学归纳法完成等差数列通项公式的证明，之后回头对证明过程加以分析，进一步深化对递推

4

思想的认识，再一次分解教学上的难点。同时，对两步在证题中的地位和作用作再一次的分析，让学生深刻认识到两步中每一步都缺一不可，为此老师还特意安排教材后的反例习题加以验证。 （2）反馈练习 老师有目的地安排基础差异明显的两个学生上讲台分别写出自然数前n项平方和公式的证明过程，并在此间隙对其他学生进行必要的辅导，然后老师和学生一起对前两个学生的答案作出评价，肯定成绩，指出不足，对存在的突出问题和共性问题加以纠正，便于学生对自己的成绩和不足有一个较全面的认识和客观的评价，明确下一步努力的方向。 （三）小结及作业 小结由学生完成，不到的地方老师加以纠正和补充，并强调1、递推思想是数学归纳法的实质2、运用数学归纳法证题的两步缺一不可，两者紧密结合，完成从有限到无限的递推过程3、第二步中必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法。作业分为A组和B组，难度不一，以照顾到不同层次的学生。 板书设计如下： 数 学 归 纳 法 一、数学归纳法原理二、例1（板三、课堂练习（板书） 四、作（板书） 书） 业 学生甲解学生乙解（一）内容 答 答 （二）第一步和第二步在证题中的作用 五、教学评价分析

本节课有两个难点：一是正确理解数学归纳法的原理和实质；二是构建用数学归纳法来解题的正确模式，通过精心类比骨牌游戏和数学归纳法帮助学生突破难点一。构建正确解题模式的难点在于第二步中如何应用归纳假设，为了突出该如何应用归纳假设，我采用课外的题目作为例题，帮助学生突破难点二。让学生真正理解数学归纳法，自发主动的在以后的学习中利用数学归纳法来解题。

5