1. 正数和负数

1. 正数和负数

1．相反意义的量

(1)生活中存在大量具有相反意义的量 生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西、西北和东南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和亏本、买进和卖出等．生活中存在着数不清的具有相反意义的量，如前进3 m与后退5 m，收入300元与支出80元等．

(2)具有相反意义的量的特点

①具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量；

②与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升2 m成相反意义的量就很多，如：下降1 m，下降0.2 m等；

③相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量．如前进8 m与前进5 m，上升与下降都不是相反意义的量，因为前者意义不相反，后者缺少数量；

④相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约汽油3吨与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．

(3)应用方法

相反意义的量可用正数和负数表示．至于哪一种量为正，可以自由确定，当已知一个量用正数表示时，与其相反意义的量就用负数表示，反之亦然．习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正，而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负．

谈重点 对相反意义的量的理解

表示相反意义的量必须具有相反的意义，且数量必须带单位．表示相反意义的量的数值可以不同．

【例1－1】 添上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． (1)库存增加1 000千克与________500千克； (2)商店买进50支铅笔与________20支铅笔； (3)股票上涨a元与__________b元．

解析：所填的词必须使前后的量具有相反的意义．增加与减少、买进与卖出、上涨与下跌分别具有相反的意义．

答案：减少 卖出 下跌

【例1－2】 (1)如果零上3 ℃记为＋3 ℃，那么－8 ℃表示的意义是__________； (2)如果下降3米记为－3米，那么上升5米应记为__________；

(3)如果前进5千米，记为＋5千米，那么后退6千米应记为__________； (4)支出10元人民币记账为－10元，那么＋20元表示的意义是__________；

(5)某仓库运出货物20千克记为－20千克，那么运进35千克货物应记为__________． 解析：(1)零上3 ℃记作＋3 ℃，即“＋”号表示“零上”，那么与它相反意义的量“零下”就记作“－”；

(2)本小题的“－”号表示“下降”，因此，“上升”应记为“＋”，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负；

(3)～(5)小题类似．

答案：(1)零下8 ℃ (2)＋5米 (3)－6千米 (4)收入20元人民币 (5)＋35千克 析规律 正数、负数的实际应用

本题中的“零上、上升、前进、收入、运进”表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示．

2.正数与负数

(1)正数的概念：为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，用原来熟悉的数如1,6,7,9,8 844来表示它们，这样的数叫做正数．正数的前面也可添上正号“＋”，如＋1，＋5，＋16，通常情况下，正数前的正号可省略不写．

(2)负数的概念：把与正数相反意义的量，如零下温度、低于海平面高度等规定为负的，

用在正数前面添上负号“－”的数，如－3，－14，－155来表示它们，这样的数叫做负数．

(3)关于正数和负数的几点说明

①正数前面的“＋”号可以省略，如＋3前面的“＋”号可省略不写； 负数前面的“－”号不能省略，如负5写作－5.

②正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面高度为正，低于海平面高度为负．

③判断一个数是否是负数，关键是看是否正数前面带有“－”号，而不是看它是否有“－”号．

辨误区 正、负数的意义 对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数”．

【例2】 指出下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

111

－2，＋2，3，204，－0.02，＋3.65，－5. 357

分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“－”号．

11

解：正数是：＋2，3，204，＋3.65；

35

1

负数是：－2，－0.02，－5.

7

3．零的意义

(1)0既不是正数，也不是负数，是我们认识的数中唯一的一个“中性数”． (2)0比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界． (3)0在计数时表示“没有”．

(4)0是表示具有相反意义量的基准数．此时它不能表示没有．

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高，收支平衡可记作0元． 辨误区 正确判断字母表示的数的性质 要特别注意：“大于0”是正数的本质，当用字母表示数时，不能只看带不带“＋”号，不要误认为“a”前面是正号就是正数，也不要以为“－a”前面带有“－”号就是负数，关键是看这个数是不是大于0.

【例3】 下列说法正确的是( )． A．零是正数不是负数

B．零既不是正数也不是负数 C．零既是正数也是负数

D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数

解析：根据正数和负数的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案.0既不是正数，也不是负数．只有B符合．

答案：B 4．有理数

(1)有理数的概念

整数包括正整数、零和负整数； 分数包括正分数和负分数； 整数和分数统称为有理数． (2)有理数的分类

①有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类．即

②有理数还可以按照性质分为：正有理数、零和负有理数三类．即

谈重点 有理数的分类

既是正数又是整数的数是正整数，既是负数又是整数的数是负整数，既是正数又是分数的数是正分数，既是负数又是分数的数是负分数．

【例4】 把下列各数填在相应的横线上：

11

－35,0.7,80，－，－0.88,0,3.14，－7.9，234，，3，－10.

9093

正整数_______________________________________________________________； 正分数_______________________________________________________________； 负整数_______________________________________________________________； 负分数_______________________________________________________________． 解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写在相应的横线上．

11

答案：80,234,3 0.7,3.14， －35，－10 －，－0.88，－7.9

3909

5．正确理解具有相反意义的量的意义

在实际生活中，常常把零上温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负，用负数表示．

引入负数后，“0”不再仅仅表示没有，而是正数和负数的分界，具有初始位置的意义． (1)相反意义的量基准明确

就是说变化过程方向明确，数量明确，不受其他数的影响，也不用关心起始点，此类问题只要规定好一个方面为正，则另一个方面为负就可以．

(2)相反意义的量基准不明确

有些数据型的量，起点不是以0开始的，则需要把某一个数值视为基准点0，如平均数等，以这个基准值为界，以上的记为“＋”，以下的记为“－”．

把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置)等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一．

【例5－1】 某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，并记每天上午10时为0,10时以前记为负，10时以后记为正，例如，9：15记为－1,10：45记为1等等．依次类推，上午7：00应记为( )．

A．3 B．－4 C．－2.15 D．－7.45 解析：本题中的标准是上午10时为0，表示方法是10时以前记为负，10时以后记为正，要求用新规定来表示7：00.7：00到10：00是180分钟，180÷45＝4，因为7：00在10：00以前，所以7：00应记为－4.

答案：B

【例5－2】 一个物体可以左右移动，若规定向右移动为正，则向右移动10 m应记作__________，向左移动4 m应记作__________，－8 m表示物体__________,0 m表示物体__________，向左移动－2 m就是向__________移动2 m.

解析：正、负数可以表示具有相反意义的量，若向右记为“正”，那么向左则记为“负”；或者说若正数表示向“右”，那么负数表示向“左”，零表示不动．

答案：＋10 m －4 m 向左移动8 m 原地不动 右

【例5－3】 小王骑车向东走了10千米，又向西走了5千米．怎样用正负数表示？ 解：若规定向东为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为＋10千米，向西走了5千米，可表示为－5千米；

若规定向西为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为－10千米，向西走了5千米，可表示为＋5千米．

6.有理数的分类

有理数有两种基本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号，即有理数的性质．

不论哪种分类形式都要有明确分类的依据，分类时要做到不重不漏，两种分类形式不能混淆．必须弄清楚非负数和非正数的范围．

正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数．

注意：①“小数”属于分数；“自然数”属于整数． ②在所有含“正”“负”字眼的数集中，都不能出现“0”．因为“0”既不是正数也不是负数．

【例6】 把下列各数填在相应的括号内：

113

－3,2，－1，－，－0.58,0，－3.141 592 6,0.618，，5.23.

49

整数：{ ?}； 负数：{ ?}； 分数：{ ?}； 非负有理数：{ ?}； 负分数：{ ?}． 答案：整数：{－3,2，－1,0，?}；

1??

负数：?－3，－1，－4，－0.58，－3.141 592 6，??；

??

13?1?

分数：?－4，－0.58，－3.141 592 6，0.618，9，5.23，??；

??

13??

非负有理数：?2，0，0.618，9，5.23，??；

???1?

负分数：?－4，－0.58，－3.141 592 6，??.

??

7．正负数在实际生活中的应用 (1)在股票交易中的应用

日常生活中水位的变化，股市行情变化，温度升降等都可以用正数和负数表示，不仅能表示出变化的方向，而且还能表示出变化幅度的大小．例如：在股市上，上涨记为“＋”，下跌记为“－”，不涨不跌记为“0”．

(2)在产品检测中的应用

某一产品质量是否合格，都有一定的指标数值，而实际生产的产品，可能在这一标准上下波动，波动值在规定的范围内称为合格，超出了规定值，则不合格，某粮店出售的某种品牌的面粉袋上标有质量为(25±0.2) kg的字样，从中可以看出，在这袋面粉中，最多可以超出标准质量0.2 kg，最低低于标准质量0.2 kg，它的标准值是25 kg.一般把产品的标准值记为0，在标准值以上的记为正，以下的记为负．

解技巧 根据标准数确定正、负数

抓住标准数，标准以上记为“＋”，标准以下记为“－”，即比标准数量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．

【例7－1】 股市有风险，投资须谨慎，王先生上周五买进某种股票3 000股，每股16元，下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位：元)：

星期 一 二 三 四 五 0.8 1.5 0.6 每股涨跌 －0.5 －1.1 相对于前一个交易日，哪天股票是上涨的，哪天是下跌的？ 分析：根据股票交易表示法，正数表示上涨，负数表示下跌． 解：周一、周二、周五这三天是上涨的，周三、周四是下跌的．

【例7－2】 某品牌奶粉标准质量是454克，超出2克的记为＋2克，若低于标准质量3克以上，则视为不合格．现抽取10袋进行检测，结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 袋号 0 3 记作 －2 －4 －3 －5 ＋4 ＋4 －5 －3 (1)这10袋中，有几袋不合格？ (2)质量最大的是哪袋，实际质量是多少？ (3)质量最小的是哪袋，实际质量是多少？

分析：此题是在基准数的基础上波动，所以在基准数的基础上加减． 解：(1)有3袋不合格，分别是第4袋、第6袋和第9袋． (2)质量最大的是第7,8袋，实际质量均是454＋4＝458(克)；

(3)质量最小的是第6,9袋，实际质量均为454－5＝449(克)．, 8.按规律排列的有理数

当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点．

研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程．

解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定．

对于数字规律性问题，我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索、猜想而得到的，学习数学必须不断去探索、猜想、总结规律，才会有所发现，有所创造．

【例8】 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的三个数，并说出第99个数是什么？第2 013个数是什么？

(1)1，－1,1，－1,1，－1,1，－1，__________，__________，__________，?； (2)1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，__________，__________，__________，?；

111111

(3)－1，，－，，－，，－，__________，__________，__________，?.

234567

分析：(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数??的规律排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数；(3)是按负数、正数、负数、正数??的规律排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是1.

解：(1)1，－1,1，第99个数是1，第2 013个数是1； (2)9，－10,11，第99个数是99，第2 013个数是2 013； 11111(3)，－，，第99个数是－，第2 013个数是－. 8910992 013谈重点 寻找数字规律的方法

仔细观察数字以及它的符号的特点，把数和它的序号建立联系，特别注意其中符号的确定方法．