高中数学必修2-3第二章2.2 2.2.1条件概率

3×23

③P(AB)＝＝，

5×4103

P（AB）101

∴P(B|A)＝＝＝.

32P（A）

5

条件概率的应用

(2015·榆林高二检测)有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从

中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．

[解] 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，

则D＝B∪C，且B与C互斥，

1C142C4又P(A)＝2＝，

C551C112·C1

P(AB)＝＝， 2C551C122C2P(AC)＝2＝，

C55

故P(D|A)＝P(B∪C|A)

＝P(B|A)＋P(C|A) ＝

P（AB）P（AC）3

＋＝.

P（A）P（A）4

当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．

2．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．

解析：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，

而所求概率为P(B|A)，由于B?A，故AB＝B，

于是P(B|A)＝

P（AB）P（B）0.4

＝＝＝0.5，

P（A）P（A）0.8

所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 答案：0.5

因对事件AB，A|B，B|A的含义不明而致误 易错警示 (2015·烟台高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在

这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

[解析] 设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8�崳�

又P(A)＝0.9，P(B|A)＝

P（AB）

，

P（A）

得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72. [答案] 0.72

[错因与防范] �嵈θ菀孜蠼�事件B|A认为事件AB，导致答案不正确．解决此类问题的关键是细心审题，首先明确是否为条件概率问题，然后正确设出“事件A”“事件AB”“事件B|A”，在此基础上，选择恰当的概率公式．如本例中若将“事件B|A”和“事件AB”混淆，则易造成解题失误．

3．一个盒子中有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )

5A. 62C. 3

3B. 41D. 3

15

解析：选C.设“取的球不是红球”为事件A，设“取的球是绿球”为事件B.则P(A)＝

201

P（AB）223101

＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝＝. 4202P（A）33

4

1．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，0.6要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.

0.75

2．(2015·大连检测)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )

1A. 82C. 5

1B. 41D. 2

2

C22C213＋C22

解析：选B.P(A)＝＝，P(AB)＝2＝， 2C55C510

P(B|A)＝

P（AB）1

＝. P（A）4

11

3．设P(B|A)＝，P(A)＝P(B)＝，则P(A|B)＝________．

2311111

解析：∵P(B|A)＝，P(A)＝，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，

232361

P（AB）61

∴P(A|B)＝＝＝.

P（B）12

31答案： 2

4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．

解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．

设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，

B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}

31

于是得P(B)＝，P(BA)＝P(A)＝，

44P（BA）1

∴P(A|B)＝＝；

P（B）311

P(B1)＝，P(B1A)＝P(A)＝，

24P（B1A）1

∴P(A|B1)＝＝.

P（B1）2

, [学生用书单独成册])

[A.基础达标]

1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )

A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6

P（AB）0.03解析：选A.A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝0.2，

P（A）0.15所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.

2．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为( ) A．0.2 B．0.4

C．0.75 D．0.24

P（AB）

解析：选C.∵P(A|B)＝，

P（B）∴P(AB)＝0.3.

P（AB）0.3

∴P(B|A)＝＝＝0.75.

P（A）0.4

3．抛掷一枚骰子两次，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为( )

1A. 41C. 2

1B. 32 D. 3

解析：选C.记“第一次掷得的点数是偶数”为事件A，“第二次掷得的点数是偶数”为事件B，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为P(B|A)33×P（AB）661＝＝＝.故选C.

32P（A）

6

4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )

4

A. 91C. 2

2B. 91D. 3

解析：选C.由题意可知．

12

n(B)＝C32＝12，n(AB)＝A33＝6. n（AB）61∴P(A|B)＝＝＝.

n（B）122

5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( ) 1A. 31C. 6

1B. 181D. 9

解析：选A.设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B， 则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10， 所以P(A|B)＝

n（AB）101

＝＝.

n（B）303

6．从1～100这100个整数中，任取1个数，已知取出的1个数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．

解析：根据题意可知取出的1个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是233

或3的倍数共有33个，故所求概率为.

50

33答案： 50