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《点集拓扑讲义》第四章连通性学习笔记

见P.82定理2.6.7 4.在欧氏平面

中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空

间R不同胚.(提示:用反证法)

证: 设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.

5.设f:X

Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间.

见P.129定理4.5.2

第 29 页 * 共 29 页

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见P.82定理2.6.7 4.在欧氏平面中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法) 证: 设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚. 5.设f:XY的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间. 见P.129定理4.5.2 第 29 页 * 共 29 页 1

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