大学实验指导用书测量误差及数据处理

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③求截距。若坐标起点为零，则可将直线用虚线延长得到与纵坐标轴的交点，便可求出截距。若起点不为零，则可用下式计算截距a?x2y1?x1y2。

x2?x1下面介绍用图解法求2个物理量线性的关系，并用直角坐标纸作图验证欧姆定律。给定电阻为R=500Ω，所得数据见表1-2及图1-7。

表1-2验证欧姆定律数据表次序

次序 U/V I/mA 1 1.00 2.12 2 2.00 4.10 3 3.00 6.05 4 4.00 7.85 5 5.00 9.70 6 6.00 7 7.00 8 8.00 9 9.00 10 10.00 11.83 13.78 16.02 17.86 19.94

求直线斜率和截距而得出经验公式时， 应注意以下两点。第一，计算点只能从直线上取，不能选用实验点的数据。从图中不难看出，如用实验点a、b来计算斜率，所得结果必然小于直线的斜率。第二，在直线上选取计算点时，应尽量从直线两端取，不应选用两个靠得很近的点。图中如选c、d两点，则因c、d靠得很近，(Iｃ-Iｄ)及(Uｃ-Uｄ)的有效数字位数会比实测得的数据少很多，这样会使斜率k的计算结果不精确。因此必须用直线两端的A、B两点来计算，以保证较多的有效位数和尽可能高的精确度。计算公式为 斜率k?图1-7 电流与电压关系

IA?IB?19.94?2.12??mA?17.82?mA??31? ===1.98?10??UA?UB?10.00?1.00??V?9.00?V?不难看出，将UA-UB取为整数值可使斜率的计算方便得多。

三、逐差法

在2个变量间存在多项式函数关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后2组，将对应项分别相减，然后再求平均值。下面举例说明。

在拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和加砝码质量m之间满足线性关系x=km，式中k为比例常数，现要求计算k的数值，见表1-3

表1-3

次序 m/kg x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 15.95 16.55 17.18 17.80 18.40 19.02 19.63 20.22 20.84 21.47

如果用逐项相减，然后再计算每增加0.500kg 砝码标尺读数变化的平均值?xi ，即

?xi??x?x==

ii?1n2n?x1???x3?x2?????x10?x9?

9=

=

?x10?x1?921.47?15.95=0.613(cm)

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于是比例系数k=

?xi?2=1.23(cm/kg)=1.23×10(m/kg) ?m这样中间测量值x9 ，x8 ，?，x2 全部未用，仅用到了始末2次测量值x10 和x1，它与一次增加9个砝码的单次测量等价。若改用多项间隔逐差，即将上述数据分成后组(x10，x9 ，

x8 ，x7 ，x6 )和前组(x5 ，x4 ，x3 ，x2 ，x1 )，然后对应项相减求平均值，即

?x5=

?x10?x5???x9?x4???x8?x3???x7?x2???x6?x1?51

=5［(21.47-18.40)＋(20.84-17.80)＋(20.22-17.18)＋(19.63-16.55)＋(19.02-15.95)］ =5（3.07＋3.04＋3.04＋3.08＋3.07）=3.06(cm)

于是，

k=

1?x53.06?2==1.22(cm/kg)=1.22×10(m/kg) 5m5?0.500?x5是每增加5个砝码，标尺读数变化的平均值。这样全部数据都用上，相当于重复测

量了5次。应该说，这个计算结果比前面的计算结果要准确些，它保持了多次测量的优点，减少了测量误差。

四、最小二乘法(线性回归)

将实验结果画成图线可以形象地表示出物理规律;但图线的表示往往不如用函数表示那样明确和定量化。另外，用图解法处理数据，由于绘制图线有一定的主观随意性，同一组数据用图解法可能得出不同的结果。因此，下面将介绍一种利用最小二乘法来确定一条最佳直线的方法，从而准确地求出2个测量值之间的线性函数关系(即经验方程)。由实验数据求经验方程，叫做方程的回归。

回归法首先要确定函数的形式。函数形式的确定一般是根据理论的推断或者从实验数据变化的趋势而推测出来。如果推断物理量y和x之间的关系是线性关系，则可把函数的形式写成

y=A＋Bx (1)

自变量只有x一个，故称为一元线性回归。这是方程回归中最简单最基本的问题。 回归法可以认为是用实验数据来确定方程中的待定常数。在一元线性回归中确定常数A和B，相当于在作图法中求直线的截距和斜率。

我们讨论最简单的情况，即每个测量值都是等精度，且假定x和y值中只有y有明显的测量随机误差。如果x和y均有误差，只要把相对来说误差较小的变量作为x即可。

若实验得到的数据是x=x1, x2, x3,?,xm 相对应的y= y1,y2, y3,?,ym

方程(1)既然是物理量y和x间所服从的规律，所以在A、B确定以后，如果实验没有

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误差，把(x1,y1)、(x2,y2)?代入方程（1）时，方程的左右两边应该相等。但实际上,测量总伴随着测量误差，我们把这些测量归结为y的测量偏差，并记作?1，?2 ，?, ?m。 这样，把实验数据(x1,y1)、(x2,y2)代入方程（1）后，得到

y1?A?Bx1??1?y2?A?Bx2??2?? ? (2)

??ym?A?Bxm??m??我们要利用上述方程组来确定A和B，那么，A和B应该满足些什么要求呢?显然，比较合理的A和B是使?1，?2 ，?, ?m数值上都比较小。从几何意义来看，y=A＋Bx是直线(见图1-8)，A和B决定了直线的取法。(x1,y1)、(x2,y2)?(xm,ym )是实验所得的点，

?1，?2 ，?是这些实验点跟直线的纵坐标的偏差，要求选

取的点尽量与这些实验点都很接近是合理的。但是，每次测量的误差不会一样，反映在?1，?2 ，?, ?m大小不一，而且符号也不尽相同，所以只能要求总的偏差最小，即

??i?1m2i最小。由于处理数据的方法要满足偏差的平方和为最小，故称最小二乘法。把方程组(2)各式平方相加，得

图1-8 直线y=A+Bx

S=??=??yi?A?Bxi?

2i2i?1i?1m2imm (3)

?2S?2S?S?S为求??的最小值，应使=0，=0。 ＞0和＞0 22?A?B?A?Bi?1把式(3)分别对A和B求偏微商，得

??mi?1??2??yi?A?Bxi????Ai?1? (4) m????i2m?i?1??2??yi?A?Bxi?xi??Bi?1????i2?i??i?1i?1令式(4)等于零，得 m? (5) mmxiyi?A?xi?B?xi2?0???i?1i?1i?1?m?ym?mA?B?xi?0m 19

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令x表示x的平均值，即mx=

?xi?1mi

y表示y的平均值，即my=?yi

i?1mx表示x的平均值，即mx=?xi2

222mi?1mxy表示xy的平均值，即mxy=?xiyi

i?1y?A?Bx?0?代入式(5)，得 ? (6)

xy?Ax?Bx2?0??A?y?Bx?解方程，得 ?x?y?xy

B??x2?x2?式中，A为直线y=A＋Bx的截距；B为斜率。

用回归法处理数据最困难的问题在于函数形式的选取。函数形式的选取主要靠理论上的分析，在理论还不清楚的场合，只能靠实验数据的趋势来推测。这样，对于同一组实验数据，不同的人员可能取不同的函数形式，得出不同的结果。为了判断所得的结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数r。对于一元线性回归，r定义为：

r??xxy?x?y2?x2??y2?y2? (7)

可以证明，r的值总是在0和1之间。r值越接近1，说明实验数据点密集地分布在所求得的直线的近旁，用线性函数进行回归是合适的，如图1-9所示。相反，如果r值远小于1而接近于0(如图1-10)所示，说明根据实验数据求得的直线很分散，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。

方程的线性回归，用手工计算是很麻烦的。但是，不少袖珍型函数计算器上均图1-9 密集分布(r值接近于1) 图1-10 分散分布(r值接近于零) 有线性回归的

计算键(具体用法详见所用计算器的使用说明书)，计算起来极为方便，因此，线性回归的应用日益普及。

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