高中数学(人教B版)必修4 导学案：第2章 2.1.2 向量的加法 Word版含答案

高中数学必修四

∴由向量加法的平行四边形法则， →→→得OA＋OC＝OB.

→→→→

(2)由图可知，BC＝FE＝OD＝AO， →→→→→∴BC＋FE＝AO＋OD＝AD.

向量加法运算律的应用 (1)下列等式不正确的是( )

→→→→→→

①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB＋BA＝0；③AC＝DC＋AB＋BD. A.②③ C.①

B.② D.③

(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： →→→①AB＋CD＋BC； →→→→②DB＋AC＋BD＋CA.

【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.

→→→

【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB＋BA＝0，故②不正确；DC→→→→→→

＋AB＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC成立，故③正确.

【答案】 B

→→→→→→→→→(2)①AB＋CD＋BC＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD. →→→→→→→→

②DB＋AC＋BD＋CA＝(DB＋BD)＋(AC＋CA)＝0＋0＝0.

向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的

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次序、任意的组合来进行.

(2)应用原则：

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

[再练一题]

→→→→

2.化简：(1)(MA＋BN)＋(AC＋CB)； →→→→(2)AB＋(BD＋CA)＋DC.

→→→→

【解】 (1)(MA＋BN)＋(AC＋CB) →→→→＝(MA＋AC)＋(CB＋BN) →→→＝MC＋CN＝MN. →→→→(2)AB＋(BD＋CA)＋DC →→→→

＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.

向量加法的实际应用 如图2-1-10所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km

到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.

【导学号：72010042】

图2-1-10

→

【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt△ABC，求出|AC|和∠BAC，最后结合图形作答.

→→

【自主解答】 设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地→→

按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；

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→→→

两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC. →→

依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， →所以|AC|＝

→→2222

|AB|＋|BC|＝800＋800

＝8002(km).

其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.

从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏东80°.

向量加法的实际问题的解题步骤如下：

(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题. [再练一题]

3.为了调运急需物资，如图2-1-11所示，一艘船从江南岸A点出发，以53 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.

图2-1-11

(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) →→

【解】 (1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速.

→

易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则AC表示船实际航行的速度. →→

(2)在Rt△ABC中，|AB|＝5，|BC|＝53，

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→所以|AC|＝

→→222

|AB|＋|BC|＝5＋

3

2

＝100＝10.

→|BC|

因为tan∠CAB＝＝3，所以∠CAB＝60°.

→|AB|

因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.

[探究共研型]

向量加法的多边形法则 →→→探究1 在△ABC中，若AB＝a，BC＝b，CA＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？ →→→→

【提示】 一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则AB＋BC＝AC，所以AB＋→→

BC＋CA＝0，那么a＋b＋c＝0.

探究2 如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？

【提示】 若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.

→

→

→

→

→→

→→

→

→

探究3 设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1An＝A1A2＋

A2A3＋A3A4＋…＋An－1An.当A1与An重合时，A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An满足什么关系？

【提示】 当A1与An重合时，有A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝0.

→→→

如图2-1-12，正六边形ABCDEF 中，BA＋CD＋EF＝( )

图2-1-12

A.0 →

C.AD

→

B.BE →D.CF