线性代数课后习题答案第一章 行列式

ax?byay?bzaz?bx ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzxay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxyxyz ?(a3?b3)yzx?

zxy

a2b2 (3)2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0; (c?3)2(d?3)2 证明

a2b2 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c4?c3? c3?c2? c2?c1得) (c?3)2(d?3)2a22b ?c2d2a22b ?c2d22a?12b?12c?12d?12a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?322222a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?54332

2d?522?0? 22

1a(4)a2a41bb2b41cc2c41dd2d4

?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d); 证明

1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4

11110b?ac?ad?a?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)

111?(b?a)(c?a)(d?a)bcd222b(b?a)c(c?a)d(d?a)

111?(b?a)(c?a)(d?a)0c?bd?b0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1 b?a)d(d?b?a) =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)?

证明 用数学归纳法证明?

x?1 当n?2时? D2?a?x2?a1x?a2? 命题成立? x?a12x?100x?1(5)? ? ?? ? ?? ? ?000anan?1an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ?x?1a2x?a1?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ?

假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1?

则Dn按第一列展开? 有

?10 Dn?xDn?1?an(?1)n?1x?1 ? ? ? ? ? ? 11 ? ? ? 00 ? ? ? 00 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? 因此? 对于n阶行列式命题成立?

6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得

an1? ? ?annD1?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?a1n?

a1n? ? ?annD2?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?an1 ?

ann? ? ?a1nD3?? ? ?? ? ?? ? ?an1? ? ?a11?

证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D? D3?D ?

证明 因为D?det(aij)? 所以

a11an1? ? ?annaD1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1n1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann? ? ?a2n

a11a21?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a311?2?? ? ??(n?2)?(n?1)? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1) 同理可证

D?(?1)D?

D2?(?1) D3?(?1)

n(n?1)2a11? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2Da1n? ? ?annn(n?1)n(n?1)?

n(n?1)2D2?(?1)2(?1)2D?(?1)n(n?1)D?D?

7? 计算 下列各行列式(Dk为k阶行列式)?

a (1)Dn?1? ? ?1, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素都

a是0? 解

a000a000aDn?? ? ?? ? ?? ? ?0001000an?1?(?1)0? ? ?000a? ? ?0

? ? ?01? ? ?00? ? ?00(按第n

? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a0? ? ?0a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a行展开)

000? ? ?01a0 ?(?1)2n?a? ? ?0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)a

?(?1)n?1?(?1)n? ? ??an?a

a(n?2)(n?2)n

?an?2?an?2(a2?1)?

x (2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得

xaaa?xx?a0Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a?

再将各列都加到第一列上 ? 得

x?(n?1)aaa0x?a0 Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0n?1? ? ?0?[x?(n?1)a](x?a)? ? ? ?? ? ?0x?a