2018-2019学年江苏省无锡市滨湖区九年级(上)期中数学试卷

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．

22．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD2＝BD?CD． （1）求证：∠BAC＝90°； （2）若BD＝2，AC＝

，求CD的长．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】55D：图形的相似．

【分析】（1）根据已知条件得到△ABD∽△CAD，根据相似三角形的性质得到∠BAD＝∠C，于是得到结论；

（2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AD2＝BD?CD， ∴

，

∵∠BDA＝∠ADC＝90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠DAC+∠C＝90°， ∴∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°；

（2）解：∵∠BAC＝∠ADC＝90°，

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∠C＝∠C， ∴△BAC∽△ADC， ∴

，

∴AC2＝BC?CD， ∴（2+DC）?DC＝24， ∴DC＝4．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

23．（8分）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米． （1）求桥拱的半径R．

（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．

【考点】M3：垂径定理的应用．

【专题】559：圆的有关概念及性质．

【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答． （2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题； 【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．

在Rt△AOD中， ∵AO2＝OD2+AD2， ∴R2＝64+（R﹣4）2， 解得R＝10；

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（2）在Rt△OEM中， ∵OE2＝EM2+OM2， ∴100＝36+OM2， 解得OM＝8， ∴CM＝8﹣6＝2，

即拱顶C 到水面EF的高度是2米．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．

24．（8分）如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【专题】121：几何图形问题．

【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．

【解答】解：原图经过平移转化为图1．

设道路宽为X米，

根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540． 整理得x2﹣52x+100＝0．

解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2． 答：道路宽为2米．

【点评】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意

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列出方程求解．

25．（8分）请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图①中作出一点D，使得∠ADB＝2∠C； （2）在图②中作出一点E，使得∠AEB＝∠C．

【考点】N3：作图—复杂作图．

【专题】13：作图题．

【分析】（1）作AC的垂直平分线交BC于D，则DA＝DC，所以∠DAC＝∠C，然后根据三角形外角性质可得到∠ADB＝2∠C；

（2）延长BC到E使CE＝CA，则∠E＝∠CAE，然后根据三角形外角性质可得到∠AEB＝∠C．

【解答】解：（1）如图1，∠ADB即为所作；

（2）如图2，∠AEB即为所作．

【点评】本题考查了作与﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 26．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P在边AD上以每秒2个单位的

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