东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)

（Ⅰ）设P?x,y?，eP半径为R，则R?x?11,PF?R?，所以点P到直线x??1的222距离与到F?1,0?的距离相等，故点P的轨迹方程C为y?4x.……………………………….4分 （Ⅱ）设M?x1,y1?、N?x2,y2?，则M1??2?1??1?,y1?、N??,y2? ?2??2?2设直线MN:x?ty?n?t?0?代入y?4x中得y?4ty?4n?0

y1?y2?4t,y1y2??4n?0.……………………………….6分 QS1?1111x1??y1、S3?x2??y2 22221??1???4S1S3??x1???x1??y1y2

2??2??1??1????ty1?n???ty2?n??y1y22??2??2?21?1??????ty1y2??n??t?y1?y2???n?????4n2?2??????? 2??1??1?????4nt2?4t2?n????n????4n2??2??????2?2?1????2t??n????4n2??????.……………………………….8分

又S2?1111n??y1?y2?n??22222?y1?y2?22?4y1y2 1?1?1???S??n????16t2?16n??4?n????t2?n?.……………………………….10分

4?2?2??2211?1???2S2?4S1S3?8nt2?4?n??t2?2n??n???n?.……………………………….11分

22?2????1??直线MN恒过?,0?.……………………………….12分

?2?21．解析：

（Ⅰ）f??x??ln?x?1??ax

22 9

令h?x??f??x??ln?x?1??ax， h??x??1?a；.……………………………….1分 x?1'1o当a?0时，h??x??0，?f?x?在??1,???上递增，无减区间

h??x??0.……………………………….3分 2o当a?0时，令h??x??0??1?x?令h??x??0?x?1?1， a1?1 a11所以，f分

'????1,?1?1,??上单调递增，在?x?在?????上单调递减；.……………………………….5

aa????（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a?0时，?f'?x?在?0,???上递增，?f'?x??f'?0??0

?f?x?在?0,???上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1o当a?1时，h??x??1?a?1?a?0 x?1?f'?x?在?0,???上递减，?f'?x??f'?0??0，

?f?x?在?0,???上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分

12o当0?a?1时，?1?0，

a由（Ⅰ）可知f'?x?在?0,??1??1??1?上单调递增，在??1,???上单调递a??a?减；.……………………………….9分 设g?x??x?1?lnx，则g??x??x?1； x令g??x??0?0?x?1；令g??x??0?x?1

?g?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???单调递增； ?g?x??g?1??0，即lnx?x?1

由此，当x?0时，ln

x?x?1?x，即lnx?2x．

10

所以，当x?0时，h?x??2x?1?ax?2x?1?a?x?1??取t?x?12?ax?1．

??41?1t??1，且h?t??t?12?at?1?0． ，则2aa??又因为h??1??1??1??h?0??0，所以由零点存在性定理，存在x0???1,t?，使得?a??a?h?x0??0；.……………………………….11分

当x??0,x0?时，h?x??0，即f??x??0；当x??x0,???时，h?x??0，即f??x??0； 所以，f?x?在?0,x0?上单调递增，在?x0,???上单调递减，在?0,???上有最大值f?x0?．综上，0?a?1.……………………………….12分

在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在．．．．答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分 选修4-4：坐标系与参数方程

?x?2cos?22．（Ⅰ）曲线C的参数方程为?（其中?为参数），.……………………………….2分

y?sin??2x因此，曲线C的普通方程为?y2?1，.……………………………….3分

4曲线D的极坐标方程为

2310， (?sin???cos?)?22因此，曲线D的直角坐标方程为x?y?35?0．.……………………………….5分

（Ⅱ）设M(2cos?,sin?)，则|MN|的最小值为M到直线x?y?35?0的距离为d，

d?|2cos??sin??35||5sin(???)?35|，.……………………………….7分 ?22当sin(???)?1时，.……………………………….8分

|MN|最小值为10．.……………………………….10分

选修4-5：不等式选讲

??2x?1,x??2?23.解：（Ⅰ）f?x???5,?2?x?3，.……………………………….2分

?2x?1,x?3?当x??2时，?2x?1?9，解得x??4，所以x??4； 当?2?x?3时，5?9，解得x??；

11

当x?3时，2x?1?9，解得x?5，所以x?5，

综上所述，不等式f?x??9的解集为{x|x?5或x??4}．.……………………………….5分 （Ⅱ）Qx?2?x?3?x?2??x?3??5.……………………………….7分

（当且仅当?x?2??x?3??0即?2?x?3时取等）.……………………………….8分

?3m?2?5?m??1或m?

7.……………………………….10分 3 12