关于高等几何方法解决初等几何问题的研究 数学系毕业论文

关于高等几何方法解决初等几何问题的研究

摘要及关键词（Abstract and Keyword）

摘要 高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它对初等几何具有指导作用。本文阐明了高等几何和初等几何的关系，并利用高等几何的思想方法，将已知初等几何命题进行变换，以实例说明高等几何的点线结合命题对初等几何的问题的研究。

关键词 高等几何；初等几何；几何命题；变换

Reserch the higher geometry method solution primary

geometry question

Abstract High wait several is make use of klein.lawrence r.Of the standpoint definition of the

transformations geometry, see surname in Europe several under this standpoint project image several of the son is several, it is several to elementary grade have a function of instruction.This text clarified high wait the relation of several and elementary grade several, and make use of high wait several of thought method, will have already known the elementary grade is several set question to carry on transformation, with solid the example explain is high to wait several of order line to combine to set question several to the elementary grade of the research of problem.

Keyword higher geometry；elementary geometry；geometry proposition；counterchange

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目录

引言????????????????????????????????1 第一章 高等几何与初等几何的关系??????????????????1

1.1几何学???????????????????????????1 1.2高等几何与初等几何的密切关系????????????????1 第二章 高等几何方法变换初等几何命题????????????????2

2.1利用仿射变换????????????????????????2 2.2利用射影变换????????????????????????3 2.3利用交比??????????????????????????4 第三章 高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用??????????4 结论????????????????????????????????6 参考文献??????????????????????????????7 致谢????????????????????????????????7

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前言

初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。

1 高等几何与初等几何的关系

1． 1 几何学

数学史家认为:几何学是从丈量土地，测量容积和制造器皿等生产实践活动中产生和总结出来的.根据历史记载几何论证大体上开始于古希腊时代，大约是公元前七世纪左右，相当于我国春秋时期这时人类已开始使用铁器，生产力的发展促使文化也相应地得到发展.社会出现了从事脑力劳动的知识阶层，其中有一些人开始尝试把人类祖先从生产实践中总结出来的几何知识从理论上加以系统整理，并进一步总结和提高，在这方面最有贡献的是希腊数学家欧几里得.他创造性地把全部的几何内容总结起来，这就是公理化思想的开始.他的《几何原本》成为传播几何知识的标准范本，因而人们把大家熟悉的几何称为欧氏几何.但欧几里得《几何原本》的逻辑缺点是公理不够，直到1899年德国数学家希尔伯特著《几何基础》一书，提出了欧氏几何的完整的公理系统.不同 的 公 理体系可以建立不同的几何学.如将欧氏几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基平行公理(即过已知直线外任一点可引两条直线与已知直线平行)其余公理保持不变，便得到罗氏几何.在黎曼公理体系下(即过已知直线外一点没有任何直线与已知直线平行)就得到黎曼几何.也就是说任何几何学和几何定理都是相对于某种公理系统而言的.我们把罗氏几何与黎曼几何统称为非欧几何.在 19 世纪 初期还产生了几何学的又一分支:射影几何(高等几何).1872年克莱因在爱耳兰根大学宣读了现在大家叫做“爱耳兰根纲领”的演说，在这篇演说中，给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释.这三种几何表面上互相矛盾，相互排斥，但它们在射影几何中得到统一，都是射影几何的子几何.这样一来射影几何和初等几何研究相互联系起来了.

1． 2 高等几何与初等几何的密切关系

由上面知道高等几何与初等几何是有关系的.下面从四个方面来说明它们之间的关系. 1.可居高临下地看待初等几何

几何学的研究，除了由欧几里得创建的公理化观点外还有克莱因的群论观点.在群论观点下，几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学。即每一种几何学对应着一个变换群，图形在该变换群下保持不变的那些性质和量，就是这几何学研究的对象.我们知道初等几何是以欧氏几何为其学习内容的.用变换群的观点看，欧氏几何学就是研究正交变换下的图形不变性质和不变量的几何学.由于正交变换群是相似变换群的子群，相似变换群是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.因而所对应的几何学从研究的范围讲是:射影几何（仿射几何。相似度量几何）欧氏几何.而从研究的内容来看，欧氏几何研究的对象不仅包括度量性质和度量不变量，而且包括相似性质和相似不变量，仿射性质和仿射不变量，射影性质和射影不

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变量.即射影几何，仿射几何，相似度量几何，欧氏几何.我们了解了这些关系才能全面地正确地掌握欧氏几何的内容，同时在研究欧氏几何许多具体问题时，我们才可以居高临下的看待这些问题.

2.初等几何部分内容的理论依据

如立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为依据的，著名的“九树十行”问题是以巴卜斯定理为基础的.还有些在中学难以讲透的问题在高等几何中得到彻底讲清楚，如:非退化二次曲线需每三点不共线的五点才能唯一确定，为什么圆只要不共线的三点就能确定，就是这样一个问题. 3.用高等几何的方法可给出初等几何的简捷证明

我们知道在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形(平行四边形、梯形、椭圆)可变为正三角形(正方形、等腰梯形、圆)，那么对有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形用仿射变换变为特殊图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等即可推出该命题在原图形中也成立.在证 明 一 些共点或共线问题时，可以利用“投影到无穷远”的方法，把相交直线投影成平行直线，在投影后的图形中，容易证明共点或共线问题，再利用中心投影保持结合性不变的性质，使原命题得证.还有利用笛沙格定理及其逆定理证明共线点和共点线的问题;利用交比证明有关圆的问题;利用调和比的性质证明有关平分线段、平分角以及比例线段的问题等等. 4.为初等几何构造新的命题

许多初等几何是以高等几何为其背景的.掌握了高等几何知识并摸透它与初等几何知识之间的联系，就能构造出形式多样、内容丰富的初等几何新问题，如1978年全国中学数学竞赛第二试的第一题“四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段”.以及另一题目“已知与一直线L平行的一条线段AC,今要求只用直尺，不用圆规平分线段AC，熟悉高等几何的人立即可以看到，这二题都是以完全四点形的调和性质为背景的.

2 用高等几何方法变换初等几何命题

利用高等几何的观点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其他初等几何命题，具有重要的意义。

2． 1 利用仿射变换

例1. 命题：“正方形ABCD的一组邻边上有E，F两点，且EF//AC。则?AED和?CFD面积 相等“（见图1）

图1

将此命题作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，使正方形ABCD对应平行四边形ABCD,E对

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