3五年级奥数题：质数与合数(B)

质数与合数作业

质数与合数作业

一、填空题

1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.

2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.

3. 把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A?B?AB=_____. 4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.

5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____. 6. 如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.

7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.

8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.

9. 有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.

10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.

二、解答题

11．甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质数”.乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?

12. 下面有3张卡片 3 , 2 , 1 ，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数. 把所得数中的质数写出来.

13. 在100以内与77互质的所有奇数之和是多少? 14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.

1

质数与合数作业

———————————————答 案——————————————————————

答 案:

1. 99

100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.

2. 3,3,5,8

根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:360=2?2?2?5?3?3

所以,这四个数是3,3,5和8. 3. 1992

依题意,将232323分解质因数得 232323=23?10101

=23?3?7?13?37 从而,全部不同质因数之和

AB=23+3+7+13+37=83 所以,A?B?AB=8?3?83=1992.

4． 36岁

根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合.

1620=2?2?3?3?3?3?5 =9?12?15

所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁) 5. 83,24

先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合 1992=2?2?2?3?83 =24?83 24+83=107

所以,这两个数分别是83和24. 6. 14

根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.

4875=3?5?5?5?13

=(3?13)?(5?5)?5 =(39?25)?5

由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14. 7. 15 解法一

因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得:

2

质数与合数作业

255=3?5?17 =3?5?(15+2) =15?2+15?15 所以,这个数是15. 解法二

依题意,原数的2倍+0+原数?原数+1=256,即 原数的2倍+原数?原数=256-1 原数的2倍+原数?原数=255 把255分解质因数得

255=3?5?17 =15?(15+2) =15?2+15?15 所以,这个数是15.

8. 21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.

先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:

21=3?7 22=2?11 34=2?17 39=3?13 44=2?2?11 45=3?3?5 65=5?13 76=2?2?19 133=7?19 153=3?3?17

由此可见,这10个数中质因数共有6个2,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:

第一组数是:21、22、65、76、153； 第二组数是:34、39、44、45、133.

[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):

把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.

答案是如下分法即可: 第一组：20，33，91； 第二组：44，35，39； 第三组：26，42，55.

9． 12

设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除.

因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.

90A=2?32?5?A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?9 40?9 90A 20?9 30?9 50?9 60?9 70?9 80?9 90?9 15?6 45?8

3

质数与合数作业

18?5 10,15 20 30 40,45 50 60 70 80 90 AB 18 所以,符合条件的两位数共12个. 10. 14；3岁，3岁，8岁

因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是

72=1?6?12=1?8?9 =2?3?12=2?4?9 =2?6?6=3?3?8 =3?4?6

三个因数的和分别为：19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此时三个孩子的年龄有两种可能:2岁、6岁、6岁；或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.

11. 因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.

12. 从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、2、3，其中只有2、3是质数.

从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13,23,31.

因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.

故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.

[注]这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全

部列举出来:12,13,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.

13. 100以内所有奇数之和是 1+3+5+?+99=2500，

从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和

7?(1+3+?+13)+11?(1+3+?+9) =618，

最后再加上一个7?11=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为

2500-618+77=1959.

[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数7?11,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有7?11的1倍,3倍,?也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.

14. 依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

而甲、乙5箭总环数的积1764?0,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0

4

质数与合数作业

和10.

而1764=1?2?2?3?3?7?7是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数

1，2，2，3，3

经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：

（1）1，4，9； （2）1，6，6； （3）2，2，9； （4）2，3，6； （5）3，3，4．

因此，两人5箭的环数有5种可能： 7，7，1，4，9 和是28； 7，7，1，6，6 和是27； 7，7，2，2，9 和是27； 7，7，2，3，6 和是25； 7，7，3，3，4 和是24。

∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少. ∴甲的总环数是24,乙的总环数是28.

5