高中数学同步讲义必修二——第二章 2.3.1 直线与平面垂直的判定

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D，

∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°，

∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D，

∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝2，A1O＝又∵∠A1OB＝90°，

A1O1∴sin∠A1BO＝＝，又∠A1BO∈[0°，90°]，

A1B2∴∠A1BO＝30°，

∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 反思与感悟 求直线与平面所成角的步骤： (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

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跟踪训练3 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．

解 取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，

∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC. ∵AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，又∵BE?平面ABC，∴CD⊥BE. ∵AB＝BC＝2，AB⊥BC， ∴BE⊥AC且BE＝2，

又AC∩CD＝C，AC，CD?平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，

∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角， 又BD＝2BC＝22， BE21∴sin∠BDE＝＝＝，

BD222

∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.

1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )

A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 答案 B

解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( ) A．α∥β，且m?α C．m⊥n，且n?β 答案 B

解析 A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )

B．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，且n∥β

A．60° C．30° 答案 A

解析 ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO1

＝，即∠ABO＝60°.故选A. 2

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________．

B．45° D．120°

答案 90° 解析 连接AD1，

∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1， ∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.

证明 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，

所以PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中点，所以EF⊥PC. 又BP＝

AP2＋AB2＝22＝BC，

F是PC的中点，所以BF⊥PC. 又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF， 所以PC⊥平面BEF.

1．直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 2．线线垂直的判定方法： (1)异面直线所成的角是90°. (2)线面垂直，则线线垂直． 3．求线面角的常用方法：

(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)． (2)转移法(找过点与面平行的线或面)． (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．