当前位置：首页 > （新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第四节复数讲义（含解析）
第四节 复数
突破点一 复数的基本概念及几何意义
[基本知识]
1．复数的定义及分类 (1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类： 实数?复数z＝a＋bi
?虚数
a，b∈R
?2．复数的有关概念 复数相等 共轭复数 复数的模 b＝0，b≠0
??纯虚数a＝0，?
?非纯虚数a≠0.?
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) ―→向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，b∈R) 3.复数的几何意义 复平面的概念 实轴、虚轴 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数z＝a＋bi复数的几何表示 ―→向量OZ [基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)方程x＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )
(4)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i，则z的复平面内对应的点位于第三象限．( ) (5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．( )
2
复平面内的点Z(a，b) 平面 1
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、填空题
1．设m∈R，复数z＝m－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为________． 答案：1
2．复数z＝－i(1＋2i)的共轭复数为________． 答案：2＋i
3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于第________象限．
答案：四
[全析考法]
考法一 复数的有关概念
2
2－bi[例1] (1)(2019·南充一模)若复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b等于
1＋2i( )
2A．－
3C.2
2B. 3D．2
(2)(2019·唐山五校联考)已知＝2＋i，则z(z的共轭复数)为( )
1－iA．－3－i C．3＋i
2－bi
[解析] (1)＝
1＋2i
2－bi1＋2i
B．－3＋i D．3－i
1－2i2－2b－4＋bi2－2b＝＝－
1－2i55
4＋bi
.因5
z2
为该复数的实部和虚部互为相反数，因此2－2b＝4＋b，因此b＝－.故选A.
3
(2)由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以z＝3＋i，故选C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，
c，d∈R)．
2
考法二 复数的几何意义
1
[例2] (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
1－iA．第一象限 C．第三象限
2
B．第二象限 D．第四象限
(2)(2019·南昌一模)已知z＝m－1＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) C．(－∞，1) 1[解析] (1)＝
1－i限．故选D.
(2)因为z＝m－1＋mi在复平面内对应的点是(m－1，m)，且该点在第二象限，所以
??m－1<0，?
?m>0，?
2
2
2
B．(－1,0) D．(0,1)
1＋i1i1i
＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象
1－i1＋i2222
解得0 [答案] (1)D (2)D [方法技巧] 复数几何意义问题的解题策略 ―→ (1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)? ―→OZ. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． [集训冲关] 1.[考法一]已知复数z＝A．0 C．2 2－i＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为( ) 2－i5 B．1 D．3 2＋i2－i2a＋2 ＋＝＋555 aa2－ia解析：选D 易知z＝＋＝ 2－i5 2a＋2a－1 ＋＝2，解得a＝3.故选D. 55 a－1i 5 ，由题意得 5i2.[考法二]已知i是虚数单位，复数9的共轭复数在复平面上所对应的点位于( ) 2＋i 3 A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 5i5i5i2－i 解析：选D 复数＝＝1＋2i，其共轭复数为1－2i，在9＝ 2＋i2＋i2＋i2－i复平面上所对应的点为(1，－2)，位于第四象限，故选D. 3.[考法一](2019·广东香山中学期末)已知0 A．(1，3) C．(1，5) B．(1,3) D．(1,5) 2 2 解析：选C 由题意可得z＝a＋i，∴|z|＝|a＋i|＝a＋1.∵0 突破点二 复数的运算 [基本知识] (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝ z1a＋bia＋bi＝ z2c＋dic＋dic－diac＋bdbc－ad＝22＋22i(c＋di≠0)． c－dic＋dc＋d(2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [谨记常用结论] 1＋i1－i2 1．(1±i)＝±2i，＝i，＝－i. 1－i1＋i2．i＝1，i 4n4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i(n∈N)，i＋i *4n4n＋1 ＋i 4n＋2 ＋i 4n＋3 ＝0(n∈N)． * ?z1?|z1|，|zn|＝|z|n. 22 3．z· z＝|z|＝|z|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，??＝?z2?|z2| [基本能力] 4 搜索更多关于： （新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第五章平面向量、 的文档
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