《理论力学》（范钦珊）习题解答第3篇第7-11章

9－13 图示匀质圆轮的质量为m，半径为r，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F，并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f。试求轮子中心O经过距离s所需的时间和此时轮子的角速度。

解：图（a），轮O平面运动： maO?F1

0?FN?mg JO??F1r

由（2），

FN?mg

动滑动时，

F1?fFN?fmg

（4）代入（1），得

aO?fg （4）代入（3），得（JO?mr2） 2fg ??r由（5）代入下式：

1s?aOt2 212（1） （2） （3）

习题9－13图

（4） （5）

?Oamg（6）

FNF1

(a)

得 t?2s fg22fgsr???t?（逆）

9－14 图示匀质细杆AB质量为m，长为l，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。

l解：法1：P为AB杆瞬心，PC?，图（a）：

2lJP??mg?sin?

21JP?ml2

3

3gsin? 2l法2：AB杆平面运动

?C?FB m?x????C?FA?mg m?y（1）

P习题9－14图

BFB（2）

（3）

C?llJC??FA?sin??FBcos?

22llxC?sin?，yC?cos?

22l?l? ?C?cos????，y?C?sin???x22?l?2?lcos??????lcos????? ??C?sin???x222l?2?lsin???????lsin????? ??C??cos???y222（4）

AFA?mg

(a) （5） （6） （7） （8）

yCxC?..C..BFB?（∵初瞬时???0） ???? ?将（5）、（6）、（7）代入（2）、（3）、（4）得

lmcos????FB 2

mgOxAFA

(b)

— 21 —

l?msin????FA?mg 21llml2???FAsin??FBcos? 12223gsin?解得：??，与（1）式相同。

2l

（9） （10）

9－15 圆轮A的半径为R，与其固连的轮轴半径为r，两者的重力共为W，对质心C的回转半径为?，缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点D。均质平板BE的重力为Q，可在光滑水平面上滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力F，试求平板BE的加速度。

r C r C A A D FT R D R W

B Ff E B F E F FN

习题9－15图

习题9－15解图

解：对轮C：JC??FfR?FTr；JC?W2? gWaC?FT?Ff；aC?r? gQ对板BE： aBE?F?Ff；aBE?(R?r)?

g求得：aBE

*9－16 图示水枪中水平管长为2l，横截面面积为A，可绕铅直轴z转动。水从铅直管流入，以相对速度υr从水平管喷出。设水的密度为?，试求水枪的角速度为?时，流体作用在水枪上的转矩Mz。

F(R?r)2g? 222Q(R?r)?W(??r)解：水平管上各点科氏加速度相同

aC?2ω ?vr aC?2ω vr

科氏惯性力均布，其合力（如图）：

FIC???lA?aC?2?vr?lA

Mz?2?FIC?l?2??l2A?vr2?FICCCFIC

(a)

习题9－16图

*9－17 图示匀质细长杆AB，质量为m，长度为l，在铅垂位置由静止释放，借A端的水滑轮沿倾斜角为?的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。

解：图（a），初瞬时?AB?0，以A为基点，则

aC?aCx?aCy?aA?aτCA

即aCx?aA?aτCAcos??aA??cos?

laCy?aτCAsin???sin?2l2（1） （2）

习题9－17图

由平面运动微分方程：

— 22 —

maCx?mgsin?

∴aCx?gsin?

maCy?mgcos??FN

lJC??FN?sin?

21l即ml2??FN?sin? 122（3）

（4）

AaA?FNaτCA（5）

C3gsin2?解（2）、（4）、（5）联立，得 ?? （6）

l(1?3sin2?)l由（1）、（3），得 aA?cos????gsin?

24sin?（6）代入，得 aA?g 21?3sin?

aCxaAmgaCyB?

(a)

*9－18 匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为?，D棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。

解：初始静止，杆开始运动瞬时，vD必沿支承处切向，即沿AB方向，所以aD此时沿AB方向，如图（a），以D为基点：

由aCx?aCy?aD?aCD?aCD

taCx?aCD?d??1

nt（1） （2）

（3） （4）

AD

习题9－18图

由AB作平面运动：

maCx?mgsin??FN maCy?mgcos?

1ml2??1?FNd12由（3），aCy?gsoc?

?aD解（1）、（2）、（4）联立

aCx12gd2sin? ?2l?12d2FNaCxaCymgB?1mgl2sin? FN?2l?12d2

(a)

9－19 如图所示，足球重力的大小为4.45N,以大小v1=6.1m/s,方向与水平线夹400角的速度向球员飞

?=9.14m/s，并与水平线夹角为200角。若球－头碰撞来，形成头球。球员以头击球后，球的速度大小为v1时间为0.15s。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。

??v1) 解：击球前后球的动量改变为?p?m(v1 ?p?4.45[9.14cos20o?(?6.1cos40o),?9.14sin20o?(?6.1sin40o)] g =0.454（13.26,0.795）=（6.02,0.361）N·s 设?p与水平夹角?

?py?px?tan??0.361?0.06 6.022yy?P习题9－19图

??3.431o

?p??p??p?6.03 N·s

2x?Ft(a)

x

?p6.03??40.2N t0.15人头受力F与?p反向，即向左下方。

F?

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9－20 边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速v0；木箱碰撞后其质心的瞬时速度vC与瞬时角速度?。

?vC vO

45?A

碰前碰末 习题9－20图

(a) (b)

解：碰前方箱以初速度v0平移，碰后箱绕A点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A点受冲

量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对A点的动量矩守恒。

设箱的质量为m

1222ma2?m(a)?ma2 623a2对A动量矩守恒：mv0?ma2?

233v ??0 （1）

4a若箱刚能完成翻转，则转到最高点时??0，从碰后到JA?md2?JC???0vC?0CA最高点机械能守恒，即

a122mg?ma2?2?mga 223229v012?12由（1）得，ma??mg()a

3216a223v0 ?0.207ag

16 v0?1.05ag

转到最高处(c)

由此，??3v0ag， vC???0.557ag（方向如图示） ?0.7884aa2

*9－21 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度h。

h

习题9－21图

解：设杆给球的冲量为I，受击后球心速度为v，球的角速度为?，球质量为m。

动量定理：I?mv （1）

2 对质心动量矩定理：I(h?r)?mr2?（2）

5 纯滚动：v?r? （3） （1）、（3）代入（2），消I、v得

ICd (a)

?vr (b)

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