2020年中考数学基础题型提分讲练专题17反比例函数综合题含解析

专题17 反比例函数综合题

考点分析

【例1】（2018·浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=23，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．

（1）当OB=2时，求点D的坐标；

（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；

（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=

k（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点xP，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点D坐标为（5，3）；（2）OB=3；（3）k=123． 【解析】

（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．

1

∵∠ABC=90°， ∴tan∠ACB=

ABBC?3， ∴∠ACB=60°，

根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°∴∠DCE=60°，

∴∠CDE=90°-60°=30°， ∴CE=1，DE=3， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴点D坐标为（5，3）．

（2）设OB=a，则点A的坐标（a，23）， 由题意CE=1．DE=3，可得D（3+a，3）， ∵点A、D在同一反比例函数图象上， ∴23a=3（3+a）， ∴a=3， ∴OB=3．

（3）存在．理由如下：

①如图2中，当∠PA1D=90°时．

2

，

∵AD∥PA1，

∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，

在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=23， ∴AA1=

ADcos30?=4，

在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，

∴PA=

433， ∴PB=1033， 设P（m，1033），则D1（m+7，3）， ∵P、A1在同一反比例函数图象上，

∴1033m=3（m+7）， 解得m=3，

∴P（3，1033）， ∴k=103．

②如图3中，当∠PDA1=90°时．

3

∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1，

∴

AKPK?． KDKA1∴

PKKA1?， AKDK∵∠AKD=∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1，

∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°， ∴∠APD=∠ADP=30°， ∴AP=AD=23，AA1=6，

设P（m，43），则D1（m+9，3）， ∵P、A1在同一反比例函数图象上， ∴43m=3（m+9）， 解得m=3， ∴P（3，43）， ∴k=123．

点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数

4