和倍问题 题库教师版 doc

小学奥数讲义

和倍问题

教学目标：

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题

2. 掌握寻找和倍的方法解决问题． 知识点说明：

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：

和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数：

l份数×(倍数－1)=两数差.

解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题精讲：

【例 1】 根据线段图列式：

【解析】 列式：28?(3?1)?7（米）

【巩固】 小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？ 【解析】 小花现在的钱数：(14?10)?(1?2)?8（元），小花给小敏：10?8?2（元） 【巩固】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 【解析】 小华：72?(1?7)?9（岁），

爷爷：9?7?63（岁），63?9?54（岁）或9?(7?1)?54（岁）.

【例 2】 有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；

如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).第一盘有苹果多少个?

【解析】 本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含的数量关系．

条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘

中拿2个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第

二盘的2倍．

(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)

(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个) (3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个) (4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)

答：第一盘有苹果14个．

【巩固】 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和

对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）

长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）

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【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？ 【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千

克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；

每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 3】 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件

多少个？

【解析】 引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系． 【详解】 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果

师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(105?5)个，这样这道题就转化为例5类

型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 105?5?100(个)， 徒弟做了：100?(3?1)?25(个),师傅做了：25?3?5?80(个)．

【巩固】 实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？ 【解析】 女生：(956?4)?3?320（人），男生：956?320?636（人）或320?2?4?636（人） 【巩固】 两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少

40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 【解析】 把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。 所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；

参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。

【巩固】 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是

苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?

【解析】 我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：

如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉 的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水 果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量

的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .

【例 4】 实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2

倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【解析】 已知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是1倍

数．两个年级共制作了318件，这318件就相当于1?2?3倍，这样就可以求得1倍数——三年级

同学的制作件数是：318?3?106 (件)．再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关

系，求出四年级同学制作航模的件数是：106?2?212(件)或318?106?212(件)。

【巩固】 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？ 【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作

为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72?(1?4?4）妈妈的年龄是：=8(岁)，

8?4?32(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁．

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【巩固】 果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数，分别求出梨树

和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.

（法１）梨树：54?(5?1) ?9(棵)，苹果树：9?5?45(棵)，苹果树比梨树多：45?9?36(棵)

（法２）梨树：54?(5?1)?9(棵)，苹果树比梨树多：9?(5?1)?36(棵)

【巩固】 某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有

7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？

【解析】 “每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加（11-7=）4辆

车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车

辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28）÷4=7（天）。所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。

【例 5】 果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【解析】 把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数，分别求出梨树

和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.

（法１）梨树：54?(5?1) ?9(棵)，苹果树：9?5?45(棵)，苹果树比梨树多：45?9?36(棵)

（法２）梨树：54?(5?1)?9(棵)，苹果树比梨树多：9?(5?1)?36(棵)

【巩固】 甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时

间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是

多少？ 【详解】 改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟．它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每

天自学：60?(6?1)?12（分），原来每天自学的时间是：12?30?42（分）． 【巩固】 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

【解析】 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。 女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）

验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。

答：男生有560人，女生有200人。

【巩固】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸

盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?

【解析】 以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的

4倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒

里有几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数； 8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ； 16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。

【例 6】 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、

支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔

支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？

38【解析】 铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3?2?1?6倍．17?23?33?36?38?42?49?51?289除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．

【巩固】 六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，

丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．

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【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡

片上的数之和应是3的倍数．

计算这六个数的总和是1193?1258?1842?1866?1912?2494?10565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．

【例 7】 甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如

果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有 块巧克力．

【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的

巧克力数为(73?5)?(1?1?2)?17（块），丙原有17?2?3?22（块）。

方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍少2?2?2?6块．所以，丙有(73?3?6)?(1?1?2)?19块糖．

【巩固】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？ 【解析】 甲校学生人数为：(1999?3?4)?(1?2?2)?400（人），乙校学生人数为：400?2?3?803（人），

丙校学生人数为：400?2?4?796（人）．甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796．

【巩固】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各

多少个？ 【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．

根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于(4+1) 份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个

数.

羽毛球有：40?(4?1)?40?5?8(个)，乒乓球有：8?4?32(个)．

【巩固】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?

【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份．当一、

二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(308?2)元，2个二等奖的奖金之和等于1个一

等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(308?2)元．所以奖金总额是：

个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看

做4份，2个二等奖奖金2?2?4（份），3个三等奖奖金的份数是1?3?3（份），总份数就是：4?4?3?11（份）．这样，可以求出1份数为1078?11?98元，一等奖奖金为：98?4?392（元）．

【例 8】 甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？

【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图：

308?2?308?308?2?1078元．当评1个一等奖，2

把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。 所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；

乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）。

【巩固】 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋

友各分得多少块糖?

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