直线与圆锥曲线的位置关系

考点9 直线与圆锥曲线的位置关系

1. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2?4y的

焦点为F，定点A(22,0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN=_________. 【考点】直线与抛物线的位置关系. 【答案】

1 3【分析】由题意F(0,1),过点M向准线做垂线，垂足设为B，则由抛物线定义FM=MB，由直线FN的斜率为k?∴sin?MNB?

20?12，则tan∠MNB=, ??4422?0MBFM1??. MNMN32. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一) 设抛物线y2?4x的焦点为F，P为抛物线上一点(在

第一象限内)，若以PF为直径的圆的圆心在直线x?y?2上，则此圆的半径为__________. 【考点】抛物线的性质，直线与圆的位置关系. 【答案】1

?n2?4m??m?1?m?1n??2，解得?【分析】设P(m,n)(n>0)，则?，即P(1,2)， 22n?2????n?022(1?1)?(2?0)?圆的半径为?1.

2

x2y23. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶点、上顶点

ab分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l的方程.

43且a?2b. 3

第3题图 FGQ27

【考点】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.

【解】(1)直线AB的方程为bx?ay?ab?0坐标原点到直线AB的距离为

43aba2b216??22?，又a?2b，解得a?4，b?22 3a?b3a2?b2x2y2??1. 故椭圆的方程为

168(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1?(?22,0) 易知直线l的斜率不为0, 故可设直线l:x?my?22，点M(x1,y1)，N(x2,y2) 因为四边形MONP为平行四边形，

?????????????所以OP?OM?ON?(x1?x2,y1?y2)?P(x1?x2,y1?y2)

??x?my?2222?(m?2)y?42my?8?0 联立?22??x?2y?16?0??=64(m2?1)?0??82?x1?x2?2?42m??m?2 y?y????122m?2??y?y?42m122?x1?x2?m(y1?y2)?42?m?2??因为点P(x1?x2,y1?y2)在椭圆上， 所以(x1?x2)?2(y1?y2)?16?(得到：m??2

那么直线l的方程为x??2y?22 .

22?82242m2)?2()?16 m2?2m2?24.

(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)给定椭圆C：

x2y2?2?1(a?b?0)，称圆C1:x2?y2?a2?b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心2ab率为

3，且经过点(0，1). 2(1)求实数a，b的值；

(2)若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【解】(1)记椭圆C的半焦距为c.

?c3??由题意，得b=1，?a2?a?2,c?3 ?c2?a2?b2?所以a=2，b=1.

x2?y2?1，圆C1的方程为x2?y2?5. (2)由(1)知，椭圆C的方程为4显然直线l的斜率存在.

设直线l的方程为y=kx+m，即kx?y?m?0 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

?x2??y2?1故方程组?4(*)有且只有一组解.

?y?kx?m?由(*)得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0. 从而??(8km)?4(1?4k)(4m?4)?0 化简，得m?1?4k.①

因为直线l被圆x?y?5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l的距离d?5?2?3. 即2222222222|m|k?12?3 ②

由①②，解得k?2，m?9. 因为m＞0，所以m=3.

225. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，

x2y2右焦点，顶点B的坐标为(0，b )，且△BF1F2F1，F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、

ab是边长为2的等边三角形.

(1 )求椭圆的方程；

(2 )过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2.若S1?2S2，求直线l的斜率.

第5题图 FGQ14

【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系. 【解】(1 )∵△BF1F2是边长为2的等边三角形， ∴a=2c=2，则c=1，b?a2?c2?3，

x2y2??1. 则椭圆的方程为43(2 )设B到直线AC的距离为h，由S1?2S2，

??????????11则AF2?h?2?F2C?h，即AF2?2F2C∴AF2?2F2C， 22设A(x1,y1),C(x2,y2)，

∵F2?(1,0)，∴(1?x1,?y1)?2(x2?1,y2)，

7??x22y22x???12???x1?3?2x24??43即?，由?，解得， ?22y??2y35?12?(3?2x2)?(?2y2)?1?y??2??8?43?