北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题17 图形的变化之解答题(14道题)(解析版)(1)

∵∠ANB＝90°，AO＝OB，

∴ONAB＝1，

，

在Rt△OBC中，OC∵CN≥OC﹣ON， ∴CN

1，

1．

∴CN的最小值为

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．

10．（2019?平谷区一模）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．

（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）； （2）求AB，BC，BD之间的数量关系； （3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．

【答案】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，

∵∠ABC＝120°， ∴∠BAC+∠BCA＝60°，

∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α， 即∠BCD＝120°﹣α． （2）BD＝AB+BC．

如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．

由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．

∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°， ∴∠DCB＝∠DAE． ∴△ADE≌△CDB（SAS）． ∴BD＝BE． ∴BD＝AB+BC．

（3）如图2，AC，BD的数量关系是：位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下： ∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝BC， ∵AD＝DC， ∴BD垂直平分AC，

∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，

；

∴，

∴．

【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．

11．（2019?通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F． （1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；

（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）连接AE．

∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α， ∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，

∴[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，

∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．

（2）结论：AF＝EF+CF．

证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．

∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF， ∴∠ABC＝∠AFC＝60°， ∴△FCG是等边三角形， ∴GF＝FC，

∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ACG＝∠BCF＝α， 在△ACG和△BCF中，

，

∴△ACG≌△BCF． ∴AG＝BF，

∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴BF＝EF， ∴AF﹣AG＝GF， ∴AF＝EF+CF．

【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

12．（2019?门头沟区一模）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F． （1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；

（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；