2018-2019学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题(解析版)

f(5)?15?50e55?ln53?15?50e?ln53?15?50?e1ln53?15?50?1?45. 53故答案为：45. 【点睛】

本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题 17．已知cos??4???，???0,?. 5?2????（1）求sin????的值；

6??（2）求tan2?的值. 【答案】（1）

244?33. ；（2）710【解析】（1）根据同角三角函数的关系和两角和的正弦公式计算即可； （2）根据同角三角函数的关系和正切的二倍角公式计算即可. 【详解】 （1）cos??43???2，???0,?，所以sin??0，故sin??1?cos?? 55?2?∴sin?????????33414?33； ?sin?cos?cos?sin??????6?665252102?32tan?sin?34?24. ??，∴tan2??（2）tan??1?tan2?1?97cos?416【点睛】

本题考查同角三角函数的关系式，考查两角和的正弦公式，考查正切的二倍角公式，考查计算能力，属于常考题.

18．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1（侧面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，AC?平面BCC1B1，BC?CC1，设AB1的中点为D，B1CIBC1?E.

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（1）求证：DEP平面AAC11C； （2）求证：BC1?AB1.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）由DE//AC可证DE//平面AAC11C；

（2）先证BC1?B1C，再证AC?BC1，即可证明BC1?平面AB1C，即可得出

BC1?AB1.

【详解】

∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴四边形BCC1B1为矩形，∴E为B1C中点， （1）

∴DE为VAB1C的中位线，∴DEA//C， 又D点为AB1中点，又AC?平面AAC11C，

DE?平面AAC11C，∴DE//平面AAC11C；

（2）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴CC1?平面ABC，∴CC1?BC， 又∵CC1?BC，∴四边形BCC1B1为正方形，所以BC1?B1C， ∵AC?平面BCC1B1，∴AC?BC1，AC和BC1相交于C， ∴BC1?平面AB1C，∴BC1?AB1.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的判定及性质，考查空间想象能力，属于常考题.

rrrr19．已知a?(3sinx,1?cosx)，b?(cosx,?1?cosx)，且f(x)?a?b.

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（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）若用Wmax和Wmin分别表示函数W的最大值和最小值.当x???????,?时，求63??f(x)max?f(x)min的值.

【答案】（1）T??；（2）

3. 2【解析】（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将f(x)化简为

??1?f(x)?sin?2x???，进而求得函数的最小正周期；

6?2??????x??,2x?（2）由可求得的范围，进而可求得f(x)的最大值和最小值，最??6?63?后得解. 【详解】

rr（1）f(x)?a?b?3sinxcosx?(cosx?1)(cosx?1)

?3sinxcosx?cos2x?1 ?31?cos2xsin2x??1 22311sin2x?cos2x? 222???1??sin?2x???

6?2?2?2????； w2?2?????5?（2）??x?，??2x?，??2x??，

2363666?11∴当x??时，fmin(x)?????1，

226?113当x?时，fmax(x)?1??，∴fmax(x)?fmin(x)?.

6222∴T?【点睛】

本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

20．如图所示，在平行四边形ABCD中，若AB?8，AD?5，CP?3PD.

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（1）若?BAD??3uuur，求|AP|的值；

uuuruuur（2）若AP?BP?2，求AB?AD的值. 【答案】（1）|AP|?39；（2）22

uuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur?【解析】（1）易得AP?AD?DP，?BAD?，再由AP?AP即可得解；

3uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）由AP?BP?2可得出AP?BP?(AD?DP)(BC?CP)?2，再由CP?3PD，

r1uuur??uuur3uuur?uuur21uuuruuur3uuur2?uuuAB?2，即可得可得：?AD?AB??AD?AB??2，即AD?AB?AD?44216????uuuruuur到AB?AD的值.

【详解】

（1）由向量的加法法则得：AP?AD?DP，?BAD?uuuruuuruuur?3，

uuur2uuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2AP?(AD?DP)?AD?2AD?DP?DP?AP?(AD?DP)?AD?2AD?DP?DP1?22?25?2?5?2??4?39， 32uuur2uuur2uuur因为AP?AP，所以|AP|?39； ?52?2?5?2?cosr1uuur??uuur3uuur?uuuruuuruuuruuuruuuruuur?uuu（2）AP?BP?(AD?DP)(BC?CP)?2，∴?AD?AB??AD?AB??2，

44?????uuur21uuuruuur3uuur2ruuur31uuuAB?2，即25?AB?AD??64?2，∴AD?AB?AD?216216uuuruuur∴AB?AD?22.

【点睛】

本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

21．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：km/h）（0?x?120）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①Q?多次检验得到以下一组数据：

17x3?ax2?x，②Q?0.5x?b，经

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