多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用

一、多元函数的基本概念

1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限

?

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A（或limf(x,y)?A）的???定义

P?P0? 掌握判定多元函数极限不存在的方法：

（1）令P(x,y)沿y?kx趋向P(x0,y0)，若极限值与k有关，则可断言

函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若

此时也可断言极限不存在。

? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，

等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用???定义证明

(x,y)?(0,0)(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)存在，但两者不相等，

lim(x2?y2)sin1?0

x2?y2x2?y2例2（03年期末考试 三、1，5分）当x?0,y?0时，函数2x?y2?(x2?y)2的极限是否存在？证明你的结论。

?xy22?x2?y2,x?y?0例3 设f(x,y)??，讨论limf(x,y)是否存在？

(x,y)?(0,0)22?0,　　 x?y?0??xy222,x?y?0?24例4（07年期末考试 一、2，3分）设f(x,y)??x?y，讨论

?0,　　 x2?y2?0?(x,y)?(0,0)limf(x,y)是否存在？

1

sin(x2y)例5．求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2

3、多元函数的连续性?(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)

? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含

在定义域内的区域或闭区域。

? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

?x3?y322,x?y?0?22例1． 讨论函数f(x,y)??x?y在（0，0）处的连续性。

?0,　　 x2?y2?0??xy222,x?y?0?24例2． （06年期末考试 十一，4分）试证f(x,y)??x?y在

?0,　　 x2?y2?0?点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求

xy?1?1x?y 例4．lim (x,y)?(1,2)xy(x,y)?(0,0)xylim4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理

二、多元函数的偏导数

1、 二元函数z?f(x,y)关于x,y的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）

如果极限lim?z?x?x?x0y?y0?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)存在，则有

?x?f?xx?x0y?y0?zxx?x0y?y0?fx(x0,y0)?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

2

如果极限lim?z?y?f?y?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)存在，则有

?y?x?x0y?y0x?x0y?y0?zyx?x0y?y0?fy(x0,y0)?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)

?y对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

?(x2?y2)xy2,x?y2?0?22例1（08年期末考试 一、3，4分）已知f(x,y)??x?y，

?0,　　　 x2?y2?0?则fx(0,y)? ?xy222,x?y?0?24例2 （06年期末考试 十一，4分）试证f(x,y)??x?y在点(0,0)

?0,　　 x2?y2?0?不连续，但存在一阶偏导数。

1?22(x?y)sin,x2?y2?0?22x?y例3 设f(x,y)??，求fx(x,y),fy(x,y)。

?0,　　　 x2?y2?0?例4 设z?xy，求zx,zy。

例5（03年期末考试，一、2，3分） 设u?x?(y?1)arcsin的值为（ ）。

2、 二元函数z?f(x,y)关于x,y的高阶偏导数（二元以上类似定义）

?ux，则在(1,2)

?xy???z??2z???z??2z, ?fxx(x,y ) ?fxy(x,y)???????x??x??x2?y??x??x?y???z??2z???z??2z ) ?fyx(x,y)???2?fyy(x,y ????y??y??y?x??y??y?x

3

?2z?2z?2z?2z定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。 ,??x?y?y?x?x?y?y?x例1．设u?1,r?(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2，其中a,b,c为常数，求：r?2u?2u?2u＋2?2。 2?x?y?z例2．设z?(x?y)e

3、z?f(x,y)在点P(x,y)偏导数存在?z?f(x,y)在点P(x,y)连续（07年，04年，02年等）

22?arctgyx?2z，求。

?x?y?z?f(x,y)4、偏导数的几何意义：fx(x0,y0)表示曲线?在点P(x0,y0,z0)处的

?y?y0切线与x轴正向的夹角。

三、全微分

1、z?f(x,y)在点P(x0,y0)可微分的判定方法 若

lim?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?x??y22(?x,?y)?(0,0)?0，则可判定z?f(x,y)在点

P(x0,y0)可微分。其中?z?f(x0??x,y0??y)?f(x,y) 例

1．（08

年期末考试 十二、6

分）证明函数

1?22(x?y)sin,x2?y2?0?x2?y2f(x,y)??在（0，0）处可微，但偏导数fx(x,y)?22?0,　　　 x?y?0在（0，0）处不连续。

4