运筹学实验指导书(1)

(3) 数与变量的乘积用*表示；

(4) 不等号≤和≥用<=和>=或<和>表示；

(5) LINGO系统默认所有的变量非负，因此非负变量的约束可省略，而非正变量和自由变量要用x1<=0和@free(x2)表示； (6) LINGO中不能输入下标，x1→x1。

图3

注2：例1.1的模型求解还可以按图4的方式输入代码求解。此时LINGO中输入的代码和线性规划模型的除注1的相关差异外，还有如下不同： (1) 数与变量的乘积，乘号用空格表示；

(2) 约束条件之前用s.t.或subject to表示后面是约束； (3) 每行后面不用分号结束；

(4) 这种输入法的好处是和LINDO的输入一致，可以直接在LINDO中求解，做灵敏度分析较方便，也能得到最优单纯形表。

图4

点菜单栏的LINGO→Solver，或直接点工具栏上的 ，可得求解结果即解的状况(Solver Status)和解报告(Solution Report)：

图5

关于图5的Solver Status的注释如下：

(1) Model(模型) LP(线性规划Linear programming，其它模型还有非线性规划NLP(Nonlinear programming )，整数线性规划ILP(Integer)，整数非线性规划 INLP) (2) State(状态) Global Opt(整体最优解Global optimal solution，线性规划的最优解都是整体最优解，非线性规划有局部最优解(Local Opt)和整体最优解之分，其它状态还有无可行解(Infeasible)图7和无界解(Unbounded) 图8)

(3) Objective，目标函数值为14，由于处于最优解状态，所以这里表示最优值为14。 (4) Infeasibility 0，不可行性0，表示此时有可行解，否则没有可行解。 (5) Iteration 1，表示迭代了1步求得最优解。

(6) Extended Solver Status，表示扩展的解的状况，主要用于整数规划和非线性规划。 (7) Variables，表示变量，Total 2，表示总决策变量2个，非线性(Nonlinear)变量和整数(Integer)变量都是0个。 (8) Constraints，表示约束，Total 4，表示包括目标函数一共4个约束，非线性(Nonlinear)约束0个。

(9) Nonzeros，表示非零系数，Total 6，表示包括目标函数和约束条件中变量的非零系数6个，右端常数项不算。

图6

图7

图8

关于图6的Solution Report的注释如下：

(1) Global optimal solution found.整体最优解被找到。 (2) Objective value: 14.00000.最优值为14。

(3) Total solver iterations: 1.求解的总迭代步数为1步。 (4) Variable Value Reduced Cost

X1 4.000000 0.000000 X1 2.000000 0.000000

最优解的变量X1=4.000000，X2 =2.000000。

(5) Reduced Cost：表示减少的成本，即最小化问题的最优目标函数中各变量的检验数，即在其它

变量不变时，该变量减少一个单位，目标费用减少的数量如图8。对于最大化问题，是最优目标函数中各变量的检验数的相反数，表示当该变量增加一个单位时目标函数减少的数量如图9。这里由于上面X1和X2为取值非零的基变量，所以检验数为零。Reduced Cost为在最优解时，最小化问题中变量的检验数，最大化问题中变量检验数的相反数。 (6) Row Slack or Surplus Dual Price

1 14.00000 1.000000

2 0.000000 1.500000 3 0.000000 0.1250000

4 4.000000 0.000000

Slack or Surplus表示松弛或剩余变量，即将最优解带入各个约束条件后，左边比右边小的或大的数量，表示在最优方案中，剩余或超过的资源数量。注意，这里第一行表示目标函数，其松弛或剩余变量和对偶价格都没有意义。

(7) Dual Price，对偶价格，即最大化问题中对偶变量的最优解的值如图9所示，对于最小化问题，

对偶价格为对偶变量的最优解的值的相反数。