高考数学典型例题整理

又因为平面经过点P?1，?2，0?，代入平面一般方程得

0?1?0???2??C?0?D?0

所以D?0

故所求平面方程Cz?0，即z?0，也就是xoy平面。 2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线的直线的方程．

解：设所求直线的方向矢为v??m，n，p?，

直线与平面3x?2z?1?0平行，则v⊥n，有

3m?n?2p?0 （1） 直线与直线

x?1y?3z??相交4?21x?1y?3z??相交，即共面 4?21mnp?21?0 则有41?13?00?2所以?7m?8n?12?0 （2） 由（1），（2）得

mnpmnp?，即? ??4?50?31?12233?1?81212?7?7?8取m?4，n??50，p??31，得求作的直线方程为

x?1yz?2?? 4?50?31x?3y?4z?4??3．求通过点A(0,0,0))与直线的平面的方程． 211解：设通过点A(0,0,0)的平面方程为A(x?0)?B(y?0)?C(z?0)?0 即 Ax?By?Cz?0 (1)

x?3y?4z?4??又直线在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直 211所以 2A?B?C?0 (2) 直线上的点?3,?4,4?也在该平面上，则 3A?4B?4C?0 （3） 由（1），（2），（3）得知，将A,B,C作为未知数，有非零解的充要条件为

xyz211?0 3?44即8x?5y?11z?0，这就是求作的平面方程。

x?2yz?1??的距离． 1?10解：点A?2,0,?1?在直线上，直线的方向矢v??1,?1,0?

4．求点P(1,?1,0)到直线

AP???1,?1,1?,则AP与v的夹角为

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cos??AP?vAP?v0??1?1?0??1?2???1??1?1???1?2222?0

所以??90

因此点P?1,?1,0?到直线的距离为d?AP?5．?取何值时直线???1?2???1?2?12?3

?3x?y?2z?6?0与z轴相交?

?x?4y??z?15?0?3x?y?2z?6?0解：直线?与z轴相交，则有交点坐标为?0，0，z?，

x?4y??z?15?0??2z?6?0由直线方程得?，求得???5

???z?15?0?x?2z?06．平面x?y?z?1?0上的直线l通过直线l1：与此平面的交点且与 l1?y?z?1?0?垂直, 求l的方程．

解：依题意，l与l1的交点在平面上，设通过交点的平面方程为

x?y?z?1???y?z?1????x?2z??0

即?1???x??1???y??1???2??z?1???0 （1）

?x?2z?0已知直线l1?的一组方向数为

y?z?1?0?mnp ??022110111001mnp?? 所以

?2?111??1??1???2???由直线与平面垂直得 21?12??????1???2?2??3所以?得?

??1???2?2??4?????1?3?212111将???，???代入（1）得x?y?z??0

333333化简得2x?y?z?1?0

?x?y?z?1?0故所求直线方程为?

?2x?y?z?1?07．求过点(?3,25)且与两平面x?4z?3和3x?y?z?1平行直线方程．

解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢

所确定的平面，即直线的方向矢为

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iv?n1?n2?1将已知点代入直线的标准方程得

j0k?4??4i?13j?k 13?1x?3y?2z?5?? 4131x?5y?2z??，且垂直于平面8．一平面经过直线（即直线在平面上）l：314x?y?z?15?0，求该平面的方程．

解：设求作的平面为Ax?By?Cz?D?0 (1)

x?5y?2z??在该平面上，则有点??5,2,0?在平面上，且直线的方向矢直线314v??3,1,4?与平面的法矢n??A,B,C?垂直

所以?5A?2B?D?0 (2) 3A?B?4C?0 (3)

又平面与已知平面x?y?z?11?0垂直，则它们的法矢垂直 所以A?B?C?0 (4)

5?A?D?39?7?D 联立(2),(3),(4)得?B??34?2?C??D?34?代入（1）式消去D并化简得求作的平面方程为

5x?2y?2z?39?0

习题4.4

一计算题与证明题

1．一动点P到定点A(?4,0,0)的距离是它到B(2,0,0)的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．

解：设动点P的坐标为P?x,y,z?，依题意，得

?x?4?2?y2?z2222?2?x?1?2?y2?z2

化简得x?y?z?8x?0

2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy面和xOz面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与?1，?，?1?, 求该椭圆抛物面的方程．

解：顶点在原点，xoy面和xoz面是它的对称面的椭圆抛物线方程为

??13??y2z2??2px a2b21，2?，?1，，代入已知点?6，?1?得

?1?3?? 35

4?1??12p??a2b2 ?11??2?2p2?b?9a?b2?6a2?联立求出?5

b??36a2?y2z210x?代入（1）式得2? 22a6a36a化简得求作的椭圆抛面方程为

18y2?2z2?5x

3．求顶点为O(0,0,0)，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点(3,2,1))的圆锥面的方程． 解：设轨迹上任一点的坐标为P?x，y，z?，依题意，该圆锥面的轴线与平面

x?y?z?0 垂直，则轴线的方向矢为v??1，1，1?，又点O?0,0,0?与点?3，2,1?在锥面上过

这两点的线的方向矢为l1??3,2,1?，点O(0,0,0)与点P?x，y，z?的方向矢为l2??x,y,z?，则有l1与v

的夹角和l2与v的夹角相等，即

x?1?y?1?1?13?1?2?1?1?1 ?222222222222x?y?z?1?1?13?2?1?1?1?1化简得所求的圆锥面方程为

11x2?11y2?11z2?14xy?14yz?0

4．已知平面?过z轴, 且与球面x2?y2?z2?6x?8y?10z?41?0相交得到一

个半径为2的圆, 求该平面的方程．

解：过z轴的平面为Ax?By?0 （1）

球面方程化为?x?3???y?4???z???5???9

222表示球心坐标为O??3,4,?5?到截面圆的圆心的距离为

d?32?22?5,如题三.4图所示

由点到平面的距离公式为

3A?4B22A?B22化简得4A?24BA?11B?0

解

关

于

A

的

一

元

二

次

方

程

地

?5

A??24B??24B?2?4?4?11B22?4111B,A2??B 22111分别代入(1)式得?Bx?By?0,?Bx?By?0

223y 消去B得所求平面方程为x?2y或x?11求出A1?? 36