高考数学典型例题整理

BM?ND,CN?MA

由矢量合成的三角形法则有BA?BM?MA

CD?CM?MD?MA?BM?BM?MA

所以BA?CD

即BA平行且等于CD

四边形ABCD是平行四边形

6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程． 解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3)

AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则由MA?MB得

?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0

??x?1?2??y?2?2??z?3?2

这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．

解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1?2 a?br1?1 （1） r2设向量c的坐标为?x,y,z?

则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1?1 （2） 2rc?x2?y2?z2?r?12?12?02?2

所以x?y?z?2 （3）

2221?x???3?x?1?4??联立（1）、（2）、(3)求出?y?0或?y?

3?z?1??1?z???3??141??333?8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)， (1) 求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥A?BCD的体积． (3) 求?BCD的面积．

(4) 求点A到平面BCD的距离．

所以向量c的坐标为?1,0,1?或??,,??

0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 解：因为A?3，所以AB???1,?10,0?

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AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4?

（1）AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积

???1?10V??3?5?8?602??3?100?0??0?120?12??176 ?4（2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥A?BCD）的体积

1188VT?V??176?

663（3）因为BC???2，2，2?，BD???4，4，?4?

i BC?BD??2

所以BC?BD?j2k2??16i?16j?0k

?44?4??16?2???16?2这?162，

是平行四边形BCED的面积

11S□BCED??162?82 22(4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥A?BCD的体积

1VT?S?BCD?H

3883?3VT3?11?112 ?所以H?S?BCD2822因此S?BCD?习题4.2

一、计算题与证明题

1．求经过点A(3,2,1)和B(?1,2,?3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程． 解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为

Ax?Cz?D?0 (1)

把点A?3，2，1?和点B??1，2，?3?代入上式得 3A?C?D?0 (2) ?A?3C?D?0 (3)

DD 由（2），（3）得A??,C?

22DDz?D?0 代入（1）得?x?22 消去D得所求的平面方程为

x?2?z?0

xyz??1距离相等的点的轨迹方程．2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:?

2?51解；设动点为M?x,y,z?，由点到平面的距离公式得

30

3z?y?2z?63???1??2222??5x?2y?10z?10??5?2?2???10?22

所以3x?y?2z?6??14129??5x?2y?10z?10?

?3．已知原点到平面?的距离为120, 且?在三个坐标轴上的截距之比为?2:6:5, 求 的方程．

解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为

xyz???1 ?2k6k5k 化成一般式为?15x?5y?6z?30k?0

又因点O?0,0,0?到平面?的距离为120，则有

?30k??15?求出k??4286

2?5?622?120

所以，所求平面方程为?15x?5y?6z?120286?0

4．若点A(2,0,?1)在平面?上的投影为B(?2,5,1), 求平面?的方程． 解：依题意，设平面的法矢为n??4,?5,2? 代入平面的点法式方程为

4?x?2??5?y?5??2?z?1??0

整理得所求平面方程为4x?5y?2z?35?0

5．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．

解：两平面的法矢分别为n1??m,?1,?6?，n2??2,?3m,11?，由n1⊥n2，得

2m?21m?66?0

66 求出m??

196．已知四点A(0,0,0), B(,2,?5,3), C(0,1,?2), D(2,0,7), 求三棱锥D?ABC中ABC 面上的高．

解：已知四点A?0,0,0?,B?2,?5,3?,C?0,1,?2?,D?2,0,7?,则

DA???2,0,?7?,DB??0,?5,?4?,DC???2,1,?9?

由DA,DB,DC为邻边构成的平行六面体的体积为

V?DA,DB,DC??0???2?201?7?9?5?4

???90?0?0???70?0?8??

???90?70?8? ?28

由立体几何可知，三棱锥D?ABC的体积为

1114VD?ABC?V??28?

663 设D到平面ABC的高为H

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1H?S?ABC 33VD?ABC所以 H?

S?ABC则有 VD?ABC?又AB??2,5,3?,AC??0,1,?2?

i0j1k3?7i?4j?2k ?2AB?AC?2?51121AB?AC?7?42?22?69 222143?3?28?2869 因此，H?169696927．已知点A在z轴上且到平面?:4x?2y?7z?14?0的距离为7, 求点A的坐标． 解：A在z轴上，故设A的坐标为?0，0，2?，由点到平面的距离公式，得

所以，S?ABC??7z?144???2????7?222?7

所以?7z?14??69 则z?2?69

那么A点的坐标为A0,0,2?69

8．已知点．A在z轴上且到点B(0,?2,1)与到平面?:6x?2y?3z?9的距离相等, 求点A的坐标。

解：A在z轴上，故设A的坐标为?0,0,z?，由两点的距离公式和点到平面的

2距离公式得0???2???1?z??22??3z?96???2??3222

化简得40z?74z?229?0

因为??74??4?40?229??31164?0

方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

22习题4.3

一计算题与证明题

1．求经过点P(1,?2,0)且与直线

x?1y?1z?1xyz?1???和?都平行的平面的1101?10方程．

，1，0?，v2??1，?1，0?，平面与直线平行，则平面解：两已知直线的方向矢分别为v1??1的法矢a??A，B，C?与直线垂直

由a⊥v1，有A?B?0?0 （1） 由a⊥v2，有A?B?0?0 （2） 联立（1），（2）求得A?0,B?0,只有C?0

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